Последовательные и параллельные пружины - Series and parallel springs

В механика, два или более пружины как говорят последовательно когда они соединены от конца до конца или от точки к точке, и это называется в параллели когда они соединены бок о бок; в обоих случаях, чтобы действовать как одна пружина:

Серии		Параллельный

В более общем смысле, две или более пружины последовательно когда любой внешний стресс Применяется к ансамблю, применяется к каждой пружине без изменения величины, а величина деформации (деформации) ансамбля является суммой деформаций отдельных пружин. И наоборот, их называют в параллели если деформация ансамбля - это их общая деформация, а напряжение ансамбля - это сумма их напряжений.

Любая комбинация Hookean Пружины (линейного отклика), включенные последовательно или параллельно, ведут себя как одиночная пружина Гука. Формулы для объединения их физических атрибутов аналогичны тем, которые применяются к конденсаторы подключен в последовательно или параллельно в электрическая цепь.

Формулы

Эквивалентная пружина

В следующей таблице приведены формулы для пружины, которая эквивалентна системе из двух последовательно или параллельно установленных пружин, которые пружинные константы находятся ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$.^[1] (The согласие ${\displaystyle c}$ пружины является ответной ${\displaystyle 1/k}$ его пружинной постоянной.)

Количество	В параллели	Последовательно
Эквивалентная жесткость пружины	${\displaystyle k_{\mathrm {eq} }=k_{1}+k_{2}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}}$
Эквивалентное соответствие	${\displaystyle {\frac {1}{c_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{c_{1}}}+{\frac {1}{c_{2}}}}$	${\displaystyle c_{\mathrm {eq} }=c_{1}+c_{2}}$
Прогиб (удлинение)	${\displaystyle x_{\mathrm {eq} }=x_{1}=x_{2}}$	${\displaystyle x_{\mathrm {eq} }=x_{1}+x_{2}}$
Сила	${\displaystyle F_{\mathrm {eq} }=F_{1}+F_{2}}$	${\displaystyle F_{\mathrm {eq} }=F_{1}=F_{2}}$
Накопленная энергия	${\displaystyle E_{\mathrm {eq} }=E_{1}+E_{2}}$	${\displaystyle E_{\mathrm {eq} }=E_{1}+E_{2}}$

Формулы разбиения

Количество	В параллели	Последовательно
Прогиб (удлинение)	${\displaystyle x_{1}=x_{2}\,}$	${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}}$
Сила	${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}}$	${\displaystyle F_{1}=F_{2}\,}$
Накопленная энергия	${\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}}$	${\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}}$

Вывод формулы пружины (эквивалент жесткости пружины)

Эквивалентная постоянная пружины (серия)

При установке двух пружин в их положения равновесия последовательно, прикрепленных на конце к блоку, а затем смещении его из этого положения равновесия, каждая из пружин будет испытывать соответствующие смещения. Икс1 и Икс2 для полного вытеснения Икс1 + х2. Мы будем искать уравнение силы на блоке, которое выглядит так: ${\displaystyle F_{b}=-k_{\mathrm {eq} }(x_{1}+x_{2}).\,}$ Сила, которую испытывает каждая пружина, должна быть одинаковой, в противном случае пружины изгибаются. Причем эта сила будет такой же, как Fб. Это означает, что ${\displaystyle F_{1}=-k_{1}x_{1}=F_{2}=-k_{2}x_{2}.\,}$ Используя абсолютные значения, мы можем решить для ${\displaystyle x_{1}\,}$ и ${\displaystyle x_{2}\,}$: ${\displaystyle x_{1}~=~{\frac {F_{1}}{k_{1}}}\,,\qquad x_{2}~=~{\frac {F_{2}}{k_{2}}}}$, и аналогично, ${\displaystyle x_{1}~+~x_{2}~=~{\frac {F_{b}}{k_{\mathrm {eq} }}}}$. Подстановка ${\displaystyle x_{1}\,}$ и ${\displaystyle x_{2}\,}$ в последнее уравнение находим ${\displaystyle {\frac {F_{1}}{k_{1}}}~+~{\frac {F_{2}}{k_{2}}}~=~{\frac {F_{b}}{k_{\mathrm {eq} }}}}$. Теперь вспоминая это ${\displaystyle F_{1}~=~F_{2}~=~F_{b}}$, мы приходим к ${\displaystyle {\frac {1}{k_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}.\,}$

Эквивалентная постоянная пружины (параллельная)

Обе пружины в этом случае соприкасаются с блоком, и независимо от того, сжимается ли пружина 1, должна быть одинаковая величина сжатия пружины 2. Тогда сила на блоке равна: ${\displaystyle F_{b}\,}$ ${\displaystyle =F_{1}+F_{2}\,}$ ${\displaystyle =-k_{1}x-k_{2}x\,}$ Итак, сила на блоке ${\displaystyle F_{b}=-(k_{1}+k_{2})x.\,}$ Вот почему мы можем определить эквивалентную жесткость пружины как ${\displaystyle k_{\mathrm {eq} }=k_{1}+k_{2}.\,}$

Сжатое расстояние
В случае, когда две пружины включены последовательно, силы пружин друг на друга равны: ${\displaystyle F_{1}=F_{2}\,}$ ${\displaystyle -k_{1}x_{1}=-k_{2}x_{2}.\,}$ Отсюда мы получаем соотношение между сжатыми расстояниями для последовательно дело: ${\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}.\,}$

Накопленная энергия

Для серии В этом случае соотношение энергии, запасенной в пружинах, составляет: ${\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {{\frac {1}{2}}k_{1}x_{1}^{2}}{{\frac {1}{2}}k_{2}x_{2}^{2}}},\,}$ но есть связь между x1 и х2 полученный ранее, поэтому мы можем подключить это: ${\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}\left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}.\,}$ Для параллельно дело, ${\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {{\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}}{{\frac {1}{2}}k_{2}x^{2}}}\,}$ поскольку сжатое расстояние пружин одинаковое, это упрощает ${\displaystyle {\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}.\,}$

Смотрите также

• Ферма
• Двойственность (машиностроение)

Рекомендации

1. Кейт Саймон (1971), Механика. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-07392-7