Гипотеза Серре о модульности - Serres modularity conjecture - Wikipedia

Гипотеза Серра о модульности

Поле	Алгебраическая теория чисел
Предполагается	Жан-Пьер Серр
Предполагается в	1975
Первое доказательство	Чандрашекхар Кхаре Жан-Пьер Винтенбергер
Первое доказательство в	2008

В математика, Гипотеза Серра о модульности, представлен Жан-Пьер Серр  (1975, 1987 ), утверждает, что нечетная неприводимая двумерная Представление Галуа через конечное поле возникает из модульной формы. Более сильная версия этой гипотезы определяет вес и уровень модульной формы. Гипотеза в случае уровня 1 была доказана Чандрашекхар Кхаре в 2005 году,^[1] и доказательство полной гипотезы было завершено совместно Khare и Жан-Пьер Винтенбергер в 2008.^[2]

Формулировка

Гипотеза касается абсолютная группа Галуа ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ из поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Позволять ${\displaystyle \rho }$ быть абсолютно несводимый, непрерывное, двумерное представление ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$ над конечным полем ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$.

${\displaystyle \rho \colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).}$

Кроме того, предположим ${\displaystyle \rho }$ нечетное, то есть изображение комплексного сопряжения имеет определитель -1.

К любому нормализованному модульная собственная форма

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots }$

из уровень ${\displaystyle N=N(\rho )}$, масса ${\displaystyle k=k(\rho )}$, и немного Nebentype персонаж

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}}$,

теорема Шимуры, Делиня и Серра-Делиня присоединяется к ${\displaystyle f}$ представление

${\displaystyle \rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ кольцо целых чисел в конечном расширении ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$. Это представление характеризуется условием, что для всех простых чисел ${\displaystyle p}$, совмещать к ${\displaystyle N\ell }$ у нас есть

${\displaystyle \operatorname {Trace} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}}$

и

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).}$

Редуцируя это представление по модулю максимального идеала ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ дает мод ${\displaystyle \ell }$ представление ${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$ из ${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$.

Гипотеза Серра утверждает, что для любого представления ${\displaystyle \rho }$ как и выше, существует модульная собственная форма ${\displaystyle f}$ такой, что

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$.

Уровень и вес гипотетической формы ${\displaystyle f}$ явно предполагаются в статье Серра. Кроме того, он выводит из этой гипотезы ряд результатов, среди которых Последняя теорема Ферма и теперь доказанная гипотеза Танияма-Вейля (или Танияма-Шимура), теперь известная как теорема модульности (хотя из этого следует Великая теорема Ферма, Серр доказывает ее прямо из своей гипотезы).

Оптимальный уровень и вес

Сильная форма гипотезы Серра описывает уровень и вес модулярной формы.

Оптимальный уровень - это Артин дирижер представительства, с властью ${\displaystyle l}$ удаленный.

Доказательство

Доказательство гипотезы уровня 1 и малого веса было получено в 2004 г. Чандрашекхар Кхаре и Жан-Пьер Винтенбергер,^[3] и по Луис Дьельфе,^[4] независимо.

В 2005 году Чандрашекхар Кхаре получил доказательство случая первого уровня гипотезы Серра,^[5] а в 2008 году - доказательство полной гипотезы в сотрудничестве с Жан-Пьером Винтенбергером.^[6]

Примечания

1. Khare, Chandrashekhar (2006), "Гипотеза модулярности Серра: случай уровня один", Математический журнал герцога, 134 (3): 557–589, Дои:10.1215 / S0012-7094-06-13434-8.
2. Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), «Гипотеза Серра о модульности (I)», Inventiones Mathematicae, 178 (3): 485–504, Bibcode:2009InMat.178..485K, CiteSeerX  10.1.1.518.4611, Дои:10.1007 / s00222-009-0205-7 и Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), "Гипотеза Серра о модулярности (II)", Inventiones Mathematicae, 178 (3): 505–586, Bibcode:2009InMat.178..505K, CiteSeerX  10.1.1.228.8022, Дои:10.1007 / s00222-009-0206-6.
3. Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), "О гипотезе Серра о взаимности для двумерных представлений по модулю p группы Gal (Q / Q)", Анналы математики, 169 (1): 229–253, Дои:10.4007 / летопись 2009.169.229.
4. Dieulefait, Луис (2007), «Случай уровня 1 и веса 2 гипотезы Серра», Revista Matemática Iberoamericana, 23 (3): 1115–1124, arXiv:математика / 0412099, Дои:10,4171 / rmi / 525.
5. Khare, Chandrashekhar (2006), "Гипотеза модулярности Серра: случай уровня один", Математический журнал герцога, 134 (3): 557–589, Дои:10.1215 / S0012-7094-06-13434-8.
6. Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), «Гипотеза Серра о модульности (I)», Inventiones Mathematicae, 178 (3): 485–504, Bibcode:2009InMat.178..485K, CiteSeerX  10.1.1.518.4611, Дои:10.1007 / s00222-009-0205-7 и Кхаре, Чандрашекхар; Винтенбергер, Жан-Пьер (2009), "Гипотеза Серра о модулярности (II)", Inventiones Mathematicae, 178 (3): 505–586, Bibcode:2009InMat.178..505K, CiteSeerX  10.1.1.228.8022, Дои:10.1007 / s00222-009-0206-6.

Рекомендации

• Серр, Жан-Пьер (1975), "Valeurs propres des opérateurs de Hecke modulo l", Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, 1974), Astérisque, 24–25: 109–117, ISSN  0303-1179, МИСТЕР  0382173
• Серр, Жан-Пьер (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal (Q/ Q) ", Математический журнал герцога, 54 (1): 179–230, Дои:10.1215 / S0012-7094-87-05413-5, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  0885783
• Stein, William A .; Рибет, Кеннет А. (2001), «Лекции о гипотезах Серра», в Conrad, Brian; Рубин, Карл (ред.), Арифметическая алгебраическая геометрия (Парк-Сити, Юта, 1999), IAS / Park City Math. Сер., 9, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 143–232, ISBN  978-0-8218-2173-2, МИСТЕР  1860042

внешняя ссылка

• Гипотеза Серра о модульности 50-минутная лекция Кен Рибет выдано 25 октября 2007 г. ( слайды PDF, другая версия слайдов PDF)
• Лекции о гипотезах Серра