Вейвлет Шеннона - Shannon wavelet

В функциональный анализ, а Вейвлет Шеннона может быть одним из настоящий или же сложный тип. Анализ сигналов от ideal полосовые фильтры определяет разложение, известное как вейвлеты Шеннона (или синк-вейвлеты). Системы Хаара и sinc двойственны друг другу по Фурье.

Настоящий вейвлет Шеннона

Настоящий вейвлет Шеннона

В преобразование Фурье материнского вейвлета Шеннона определяется по формуле:

${displaystyle Psi ^{(operatorname {Sha} )}(w)=prod left({frac {w-3pi /2}{pi }}ight)+prod left({frac {w+3pi /2}{pi }}ight).}$

где (нормированный) функция ворот определяется

${displaystyle prod (x):={egin{cases}1,&{mbox{if }}{|x|leq 1/2},�&{mbox{if }}{mbox{otherwise}}.end{cases}}}$

Аналитическое выражение реального вейвлета Шеннона можно найти, взяв обратный преобразование Фурье:

${displaystyle psi ^{(operatorname {Sha} )}(t)=operatorname {sinc} left({frac {t}{2}}ight)cdot cos left({frac {3pi t}{2}}ight)}$

или альтернативно как

${displaystyle psi ^{(operatorname {Sha} )}(t)=2cdot operatorname {sinc} (2t)-operatorname {sinc} (t),}$

куда

${displaystyle operatorname {sinc} (t):={frac {sin {pi t}}{pi t}}}$

это обычный функция sinc что появляется в Теорема выборки Шеннона.

Этот вейвлет принадлежит ${displaystyle C^{infty }}$-класс дифференцируемость, но медленно убывает на бесконечности и не имеет ограниченная поддержка, поскольку ограниченный диапазон сигналы не могут быть ограничены по времени.

В функция масштабирования для Shannon MRA (или Sinc-MRA) задается функцией-образцом:

${displaystyle phi ^{(Sha)}(t)={frac {sin pi t}{pi t}}=operatorname {sinc} (t).}$

Комплексный вейвлет Шеннона

В случае сложный непрерывный вейвлет, вейвлет Шеннона определяется как

${displaystyle psi ^{(CSha)}(t)=operatorname {sinc} (t)cdot e^{-j2pi t}}$,

Рекомендации

• С.Г. Маллат, Вейвлет-тур по обработке сигналов, Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• К.С. Буррус, Р.А. Гопинатх, Х. Го, Введение в вейвлеты и вейвлет-преобразования: учебник, Прентис-Холл, 1988 г., ISBN  0-13-489600-9.