Индекс силы Шепли – Шубика - Shapley–Shubik power index

Для использования в других целях см. Индекс мощности.

В Индекс силы Шепли – Шубика был сформулирован Ллойд Шепли и Мартин Шубик в 1954 году для измерения силы игроков в игре с голосованием.^[1] Индекс часто обнаруживает удивительное распределение мощности, которое не очевидно на поверхности.

Составляющие системы голосования, такие как законодательные органы, исполнительная власть, акционеры, отдельные законодатели и т. Д., Могут рассматриваться как участники системы голосования. п-игровая игра. Игроки с одинаковыми предпочтениями формируют коалиции. Любая коалиция, имеющая достаточно голосов для принятия законопроекта или избрания кандидата, называется победившей, а остальные - проигрышной. На основе Значение Шепли, Шепли и Шубик пришли к выводу, что сила коалиции не просто пропорциональна ее размеру.

Сила коалиции (или игрока) измеряется долей возможных последовательностей голосования, в которых эта коалиция дает решающий голос, то есть голос, который первым гарантирует прохождение или провал.^[2]

Индекс силы нормализован между 0 и 1. Степень 0 означает, что коалиция вообще не влияет на исход игры; а степень 1 означает, что коалиция определяет исход своим голосованием. Также сумма сил всех игроков всегда равна 1.

Существует несколько алгоритмов вычисления индекса мощности, например, методы динамического программирования, методы перечисления и методы Монте-Карло.^[3]

С тех пор, как Шепли и Шубик опубликовали свою статью, для математического изучения индекса силы Шепли-Шубика использовались несколько аксиоматических подходов, причем наиболее широко использовались аксиома анонимности, аксиома нулевого игрока, аксиома эффективности и аксиома передачи. Однако они подвергались критике, особенно аксиома переноса, которая привела к предложению других аксиом в качестве замены. ^[4]

Примеры

Предположим, что решения принимаются большинством голосов в органе, состоящем из A, B, C, D, которые имеют 3, 2, 1 и 1 голос соответственно. Порог большинства голосов - 4. Есть 4! = 24 возможных порядка голосования для этих участников:

АBCD	АBОКРУГ КОЛУМБИЯ	АCBD	АCБД	АDдо н.э	АDCB
BАCD	BАОКРУГ КОЛУМБИЯ	до н.эАD	до н.эDА	BDАC	BDCА
CАBD	CАБД	CBАD	CBDА	CDАB	CDBА
DАдо н.э	DАCB	БДАC	БДCА	ОКРУГ КОЛУМБИЯАB	ОКРУГ КОЛУМБИЯBА

Для каждой последовательности голосования основной избиратель - тот избиратель, который первым повысил совокупную сумму до 4 или более - выделен жирным шрифтом. Здесь A играет ключевую роль в 12 из 24 последовательностей. Следовательно, A имеет индекс мощности 1/2. Остальные имеют индекс мощности 1/6. Любопытно, что B имеет не больше власти, чем C и D. Если учесть, что голос A определяет исход, если другие не объединятся против A, становится ясно, что B, C, D играют идентичные роли. Это отражается на показателях мощности.

Предположим, что в другом органе голосования с правилом большинства с ${displaystyle 2n+1}$ члены, в которых один сильный член имеет ${displaystyle k}$ голосов и оставшиеся ${displaystyle 2n}$ члены имеют по одному голосу каждый. Тогда оказывается, что сила сильного члена ${displaystyle {dfrac {k}{2n+2-k}}}$. В качестве ${displaystyle k}$ увеличивается, власть сильного члена увеличивается непропорционально, пока не приблизится к половине общего количества голосов, и этот человек получит практически всю власть. Это явление часто случается с крупными акционерами и поглощениями бизнеса.

Приложения

Индекс был применен для анализа голосования в Совет Европейского Союза.^[5]

Индекс был применен для анализа голосования в Совет Безопасности ООН. Совет Безопасности ООН состоит из пятнадцати государств-членов, из которых (Соединенные Штаты Америки, Россия, Китай, Франция и Великобритания) являются постоянными членами Совета. Для того, чтобы предложение было принято Советом, ему необходима поддержка каждого постоянного члена и поддержка четырех непостоянных членов. Это эквивалентно голосующему органу, в котором пять постоянных членов имеют восемь голосов каждый, десять других членов имеют по одному голосу, а квота составляет сорок четыре голоса, так как тогда будет пятьдесят голосов, поэтому вам понадобятся все пять постоянных членов. членов, а затем четыре других голоса, чтобы предложение было принято. Обратите внимание, что непостоянный член является ключевым в перестановке, если и только если он находится на девятой позиции для голосования и все пять постоянных членов уже проголосовали. Предположим, что у нас есть перестановка, в которой непостоянный член является ключевым. Затем есть три непостоянных члена и пять постоянных, которые должны появиться перед этим ключевым членом в этой перестановке. ${displaystyle extstyle {inom {9}{3}}}$ способов выбора этих членов и так 8! × ${displaystyle extstyle {inom {9}{3}}}$ различные порядки членов перед основным избирателем. Тогда было бы 6! способы выбора оставшихся избирателей после основного избирателя. Так как их всего 15! перестановки 15 избирателей, индекс силы Шепли-Шубика непостоянного члена составляет: ${displaystyle {frac {{inom {9}{3}}(8!)(6!)}{15!}}={frac {4}{2145}}}$. Следовательно, индекс силы постоянного члена ${displaystyle {frac {421}{2145}}}$.

Смотрите также

• Значение Шепли
• Теорема стрелы
• Индекс мощности Банцафа

Рекомендации

1. Шепли, Л. С .; Шубик, М. (1954). «Метод оценки распределения власти в системе комитетов». Обзор американской политической науки. 48 (3): 787–792. Дои:10.2307/1951053. HDL:10338.dmlcz / 143361. JSTOR  1951053.
2. Ху, Синвэй (2006). "Асимметричный индекс мощности Шепли-Шубика". Международный журнал теории игр. 34 (2): 229–240. Дои:10.1007 / s00182-006-0011-z.
3. Мацуи, Томоми; Мацуи, Ясуко (2000). "Обзор алгоритмов расчета показателей мощности взвешенных игр большинства" (PDF). J. Oper. Res. Soc. Япония. 43 (1): 71–86..
4. Ларуэль, Анник; Федерико, Валенсиано (2001). "Индексы Шепли-Шубика и Банцафа в новой математике исследования операций". Математика исследования операций. 26 (1): 89–95. Дои:10.1287 / moor.26.1.89.10589.
5. Варела, Диего; Прадо-Домингес, Хавьер (01.01.2012). «Переговоры по Лиссабонскому договору: перераспределение, показатели эффективности и мощности». Чешский экономический обзор. 6 (2): 107–124.

внешняя ссылка

• Онлайн-калькулятор индекса мощности (Томоми Мацуи)
• Компьютерные алгоритмы анализа мощности голосования Веб-алгоритмы для анализа силы голосования
• Калькулятор индекса мощности Вычисляет различные индексы для онлайн-игр с (множественным) взвешенным голосованием. Включает несколько примеров.
• Расчет индекса мощности Шепли-Шубика и Индекс мощности Банцафа с Python и р (Фрэнк Хюттнер)