Метод стрельбы - Shooting method - Wikipedia

В числовой анализ, то метод стрельбы это метод решения краевая задача сводя его к системе проблема начального значения. Грубо говоря, мы «стреляем» по траекториям в разные стороны, пока не найдем траекторию с желаемым граничным значением. Следующее изложение может быть пояснено этим. иллюстрация способа стрельбы.

Для краевой задачи второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение, метод изложен следующим образом.

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}}$

- краевая задача. у(т; а) обозначают решение начальной задачи

${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a}$

Определите функцию F(а) как разница между у(т₁; а) и заданное граничное значение у₁.

${\displaystyle F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}\,}$

Если F имеет корень а тогда решение у(т; а) соответствующей начальной задачи также является решением краевой задачи. И наоборот, если краевая задача имеет решение у(т), тогда у(т) также является единственным решением у(т; а) начальной задачи где а = у'(т₀), таким образом а это корень F.

Здесь можно использовать обычные методы поиска корней, такие как метод деления пополам или же Метод Ньютона.

Происхождение термина

Термин «метод стрельбы» берет свое начало в артиллерии. При стрельбе из пушки по цели первый выстрел производится в общем направлении цели. Если ядро ​​попадает слишком далеко вправо, орудие направляется немного влево для второго выстрела, и наоборот. Таким образом, ядра будут попадать все ближе к цели.

Линейный метод стрельбы

Краевая задача линейна, если ж имеет форму

${\displaystyle f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).\,}$

В этом случае решение краевой задачи обычно дает:

${\displaystyle y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)}$

куда ${\displaystyle y_{(1)}(t)}$ является решением задачи начального значения:

${\displaystyle y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,}$

и ${\displaystyle y_{(2)}(t)}$ является решением задачи начального значения:

${\displaystyle y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.}$

Видеть доказательство для точного условия, при котором выполняется этот результат.

Пример

А краевая задача дается Стоером и Булиршем следующим образом^[1] (Раздел 7.3.1).

${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w(1)=1}$

В проблема начального значения

${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2},\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s}$

было решено для s = −1, −2, −3, ..., −100 и F(s) = ш(1;s) - 1 нанесено на первый рисунок. F, мы видим, что есть корни вблизи −8 и −36. Некоторые траектории ш(т;s) показаны на втором рисунке.

Стоер и Булирш^[1] утверждают, что есть два решения, которые могут быть найдены алгебраическими методами, они соответствуют начальным условиям ш′ (0) = −8 и ш′ (0) = −35,9 (приблизительно).

Функция F(s) = ш(1;s) − 1.

Траектории ш(т;s) за s = ш'(0) равным -7, -8, -10, -36 и -40. Точка (1,1) отмечена кружком.

Смотрите также

• Метод прямой множественной съемки
• Расчет ослабления радиоволн в атмосфере

Примечания

1. Стоер Дж. И Булирш Р. Введение в численный анализ. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1980.

Рекомендации

• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 18.1. Метод стрельбы». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.

внешняя ссылка

• Краткое описание ODEPACK (в Netlib; содержит LSODE)
• Съемочный метод решения краевых задач - Notes, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica в Институт целостных численных методов [1]