Наклон градиента - Skew gradient

В математика, а наклонный градиент из гармоническая функция через односвязный домен с двумя реальными измерениями - это векторное поле это везде ортогональный к градиент функции и который имеет то же величина как градиент.

Определение

Наклон градиента можно определить с помощью комплексного анализа и Уравнения Коши – Римана.

Позволять ${\displaystyle f(z(x,y))=u(x,y)+iv(x,y)}$ - комплексная аналитическая функция, где ты,v являются действительными скалярными функциями действительных переменныхИкс, y.

Наклон градиента определяется как:

${\displaystyle \nabla ^{\perp }u(x,y)=\nabla v(x,y)}$

и из Уравнения Коши – Римана, получается, что

${\displaystyle \nabla ^{\perp }u(x,y)=(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}})}$

Свойства

Косой градиент имеет два интересных свойства. Он всюду ортогонален градиенту u и такой же длины:

${\displaystyle \nabla u(x,y)\cdot \nabla ^{\perp }u(x,y)=0,\rVert \nabla u\rVert =\rVert \nabla ^{\perp }u\rVert }$

использованная литература

• Питер Олвер, Введение в уравнения с частными производными, гл. 7, стр. 232