Дерновая ударная трубка - Sod shock tube

График плотности раствора после изменения времени t = 0,2, рассчитанный с использованием адиабатическая гамма из 1,4

В Дерновая ударная трубка проблема, названная в честь Гэри А. Сода, является обычным тестом на точность вычислительные коды жидкости, подобно Решатели Римана, и был тщательно исследован Содом в 1978 году.

Тест состоит из одномерного Проблема Римана со следующими параметрами, для левого и правого состояний идеальный газ.

${displaystyle left({egin{array}{c}ho _{L}P_{L}u_{L}end{array}}ight)=left({egin{array}{c}1.01.0�.0end{array}}ight)}$,${displaystyle left({egin{array}{c}ho _{R}P_{R}u_{R}end{array}}ight)=left({egin{array}{c}0.125�.1�.0end{array}}ight)}$

куда

• ${displaystyle ho }$ это плотность
• ${displaystyle P}$ это давление
• ${displaystyle u}$ это скорость

Временную эволюцию этой проблемы можно описать, решив Уравнения Эйлера, что приводит к трем характеристикам, описывающим скорость распространения в различных областях системы. А именно волна разрежения, контактный разрыв и скачок скачка уплотнения. Если эта проблема решена численно, можно проверить аналитическое решение и получить информацию о том, насколько хорошо код улавливает и разрешает скачки и контактные разрывы и воспроизводит правильный профиль плотности волны разрежения.

Аналитический вывод

Различные состояния решения разделены временной эволюцией трех характеристики системы, что связано с конечной скоростью распространения информации. Два из них равны скорости звука левого и правого состояний.

${displaystyle cs_{1}={sqrt {gamma {frac {P_{L}}{ho _{L}}}}}}$

${displaystyle cs_{5}={sqrt {gamma {frac {P_{R}}{ho _{R}}}}}}$

куда ${displaystyle gamma }$ это адиабатическая гамма Первая - это положение начала волны разрежения, а вторая - скорость распространения скачка.

Определение:

${displaystyle Gamma ={frac {gamma -1}{gamma +1}}}$, ${displaystyle eta ={frac {gamma -1}{2gamma }}}$

Состояния после удара связаны между собой Ренкин Гюгонио условия ударного прыжка.

${displaystyle ho _{4}=ho _{5}{frac {P_{4}+Gamma P_{5}}{P_{5}+Gamma P_{4}}}}$

Но чтобы рассчитать плотность в области 4, нам необходимо знать давление в этой области. Это связано с разрывом контакта с давлением в области 3 соотношением

${displaystyle P_{4}=P_{3}}$

К сожалению, давление в области 3 можно рассчитать только итеративно, правильное решение находится, когда ${displaystyle u_{2}}$ равно ${displaystyle u_{4}}$

${displaystyle u_{4}=left(P_{3}'-P_{5}ight){sqrt {frac {1-Gamma }{ho _{R}(P_{3}'+Gamma P_{5})}}}}$

${displaystyle u_{2}=left(P_{1}^{eta }-P_{3}'^{eta }ight){sqrt {frac {(1-Gamma ^{2})P_{1}^{1/gamma }}{Gamma ^{2}ho _{L}}}}}$

${displaystyle u_{2}-u_{4}=0}$

Эта функция может быть оценена с произвольной точностью, давая, таким образом, давление в области 3.

${displaystyle P_{3}=operatorname {calculate} (P_{3},s,s,,)}$

наконец мы можем вычислить

${displaystyle u_{3}=u_{5}+{frac {(P_{3}-P_{5})}{sqrt {{frac {ho _{5}}{2}}((gamma +1)P_{3}+(gamma -1)P_{5})}}}}$

${displaystyle u_{4}=u_{3}}$

и ${displaystyle ho _{3}}$ следует из закона адиабатического газа

${displaystyle ho _{3}=ho _{1}left({frac {P_{3}}{P_{1}}}ight)^{1/gamma }}$

Рекомендации

• Дерн, Г. А. (1978). "Обзор нескольких конечно-разностных методов для систем нелинейных гиперболических законов сохранения" (PDF). J. Comput. Phys. 27: 1–31. Bibcode:1978JCoPh..27 .... 1S. Дои:10.1016/0021-9991(78)90023-2. OSTI  6812922.
• Торо, Элеутерио Ф. (1999). Решатели Римана и численные методы гидродинамики. Берлин: Springer Verlag. ISBN  3-540-65966-8.

Смотрите также

• Ударная трубка
• Вычислительная гидродинамика