Последовательность сомоса - Somos sequence

В математика, а Последовательность сомоса представляет собой последовательность чисел, определенную некоторым отношение повторения, описано ниже. Их открыл математик Майкл Сомос. Судя по форме определяющей их повторяемости (которая включает деление), можно было бы ожидать, что членами последовательности будут дроби, но, тем не менее, многие последовательности Сомо обладают тем свойством, что все их члены являются целыми числами.

Уравнения рекуррентности

Для целого числа k больше 1, сомос-k последовательность ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$ определяется уравнением

${\displaystyle a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +a_{n-(k-1)/2}a_{n-(k+1)/2}}$

когда k нечетно, или аналогичным уравнением

${\displaystyle a_{n}a_{n-k}=a_{n-1}a_{n-k+1}+a_{n-2}a_{n-k+2}+\cdots +(a_{n-k/2})^{2}}$

когда k четно, вместе с начальными значениями

а_я = 1 для я < k.

За k = 2 или 3, эти рекурсии очень просты (в правой части нет сложения) и определяют последовательность всех единиц (1, 1, 1, 1, 1, 1, ...). В первом нетривиальном случае k = 4, определяющее уравнение имеет вид

${\displaystyle a_{n}a_{n-4}=a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}$

в то время как для k = 5 уравнение

${\displaystyle a_{n}a_{n-5}=a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}\,.}$

Эти уравнения можно переписать в виде отношение повторения, в котором значение а_п в левой части повторения определяется формулой в правой части путем деления формулы на а_п − k. За k = 4, это дает рекуррентность

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}}{a_{n-4}}}}$

в то время как для k = 5 дает повторение

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}a_{n-4}+a_{n-2}a_{n-3}}{a_{n-5}}}.}$

В то время как в обычном определении последовательностей Сомоса значения а_я за я < k все установлены равными 1, также можно определить другие последовательности, используя те же повторения с разными начальными значениями.

Значения последовательности

Значения в последовательности Сомос-4:

1, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 23, 59, 314, 1529, 8209, 83313, 620297, 7869898, ... (последовательность A006720 в OEIS ).

Значения в последовательности Сомос-5:

1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 5, 11, 37, 83, 274, 1217, 6161, 22833, 165713, ... (последовательность A006721 в OEIS ).

Значения в последовательности Сомос-6:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 23, 75, 421, 1103, 5047, 41783, 281527, ... (последовательность A006722 в OEIS ).

Значения в последовательности Сомос-7 равны

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 41, 137, 769, 1925, 7203, 34081, ... (последовательность A006723 в OEIS ).

Целостность

Форма повторений, описывающих последовательности Somos, включает деления, поэтому кажется вероятным, что последовательности, определяемые этим повторением, будут содержать дробные значения. Тем не менее, для k ≤ 7 последовательности Сомоса содержат только целые числа. Некоторые математики изучали проблему доказательства и объяснения этого целочисленного свойства последовательностей Сомоса; он тесно связан с комбинаторикой кластерные алгебры.^[1][2][3]

За k ≥ 8 аналогично определенные последовательности в конечном итоге содержат дробные значения. За k <7, изменение начальных значений (но с использованием того же отношения повторения) также обычно приводит к дробным значениям.

Рекомендации

1. Малуф, Дженис Л. (1992), "Целочисленная последовательность из рациональной рекурсии", Дискретная математика, 110 (1–3): 257–261, Дои:10.1016 / 0012-365X (92) 90714-Q.
2. Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2002), "Феномен Лорана", Успехи в прикладной математике, 28: 119–144, arXiv:math.CO/0104241.
3. Кэрролл, Габриэль Д.; Шпейер, Дэвид Э. (2004), «Повторение куба», Электронный журнал комбинаторики, 11: R73, arXiv:math.CO/0403417.

внешняя ссылка

• Сайт последовательности Сомоса Джима Проппа
• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательность Сомоса». MathWorld.