Функция Spences - Spences function - Wikipedia

«Li2» перенаправляется сюда. Для молекулы с формулой Li₂, видеть дилитий.

Смотрите также: полилогарифм § Дилогарифм

Дилогарифм по действительной оси

В математика, Функция Спенса, или же дилогарифм, обозначаемый Li₂(z), является частным случаем полилогарифм. Два связанных специальные функции называются функцией Спенса, сам дилогарифм:

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-u) \over u}\,du{\text{, }}z\in \mathbb {C} }$

и его отражение. ${\displaystyle |z|<1}$ также применяется бесконечный ряд (интегральное определение представляет собой его аналитическое расширение на комплексную плоскость):

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{2}}.}$

В качестве альтернативы функция дилогарифма иногда определяется как

${\displaystyle \int _{1}^{v}{\frac {\ln t}{1-t}}dt=\operatorname {Li} _{2}(1-v).}$

В гиперболическая геометрия дилогарифм ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)}$ происходит как гиперболический объем из идеальный симплекс идеальные вершины которых имеют перекрестное соотношение ${\displaystyle z}$. Функция Лобачевского и Функция Клаузена являются тесно связанными функциями.

Уильям Спенс, в честь которого эта функция была названа ранними авторами в этой области, был шотландским математиком, работавшим в начале девятнадцатого века.^[1] Он был в школе с Джон Галт,^[2] который позже написал биографический очерк о Спенсе.

Аналитическая структура

Используя предыдущее определение выше, функция дилогарифма аналитична всюду на комплексной плоскости, кроме точки ${\displaystyle z=1}$, где он имеет логарифмическую точку ветвления. Стандартный выбор сечения ветви - вдоль положительной вещественной оси. ${\displaystyle (1,\infty )}$. Однако функция является непрерывной в точке ветвления и принимает значение ${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\pi ^{2}/6}$.

Идентичности

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(z^{2}).}$^[3]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\ln ^{2}z}{2}}.}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\frac {{\pi }^{2}}{6}}-\ln z\cdot \ln(1-z).}$^[3]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} _{2}(1-z^{2})=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}-\ln z\cdot \ln(z+1).}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{2}}\ln ^{2}(-z).}$^[3]

Особые ценностные идентичности

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}-{\frac {\ln ^{2}3}{6}}.}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+\ln 2\cdot \ln 3-{\frac {\ln ^{2}2}{2}}-{\frac {\ln ^{2}3}{3}}.}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)+{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{18}}+2\ln 2\ln 3-2\ln ^{2}2-{\frac {2}{3}}\ln ^{2}3.}$ ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{3}}\right)-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {{\pi }^{2}}{18}}+{\frac {1}{6}}\ln ^{2}3.}$^[4]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{8}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{9}}\right)=-{\frac {1}{2}}\ln ^{2}{\frac {9}{8}}.}$^[4]

${\displaystyle 36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-36\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{4}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{8}}\right)+6\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{64}}\right)={\pi }^{2}.}$

Особые ценности

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\frac {{\pi }^{2}}{12}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(0)=0.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {{\pi }^{2}}{12}}-{\frac {\ln ^{2}2}{2}}.}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {{\pi }^{2}}{6}},}$ куда ${\displaystyle \zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана.

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(2)={\frac {{\pi }^{2}}{4}}-i\pi \ln 2.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{15}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&=-{\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{15}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\ln ^{2}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\\&={\frac {{\pi }^{2}}{10}}-\operatorname {arcsch} ^{2}2.\end{aligned}}}$

В физике элементарных частиц

Функция Спенса часто встречается в физике элементарных частиц при вычислении радиационных поправок. В этом контексте функция часто определяется с абсолютным значением внутри логарифма:

${\displaystyle \operatorname {\Phi } (x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln |1-u|}{u}}\,du={\begin{cases}\operatorname {Li} _{2}(x),&x\leq 1;\\{\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}\ln ^{2}(x)-\operatorname {Li} _{2}({\frac {1}{x}}),&x>1.\end{cases}}}$

Примечания

1. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Spence.html
2. http://www.biographi.ca/009004-119.01-e.php?BioId=37522
3. Загир
4. Вайсштейн, Эрик В. «Дилогарифм». MathWorld.

Рекомендации

• Левин, Л. (1958). Дилогарифмы и связанные с ними функции. Предисловие Дж. К. П. Миллера. Лондон: Макдональд. МИСТЕР  0105524.
• Моррис, Роберт (1979). «Функция дилогарифма действительного аргумента». Математика. Comp. 33 (146): 778–787. Дои:10.1090 / S0025-5718-1979-0521291-X. МИСТЕР  0521291.
• Локстон, Дж. Х. (1984). «Особые значения дилогарифма». Acta Arith. 18 (2): 155–166. Дои:10.4064 / aa-43-2-155-166. МИСТЕР  0736728.
• Кириллов, Анатолий Н. (1994). «Дилогарифм тождеств». Приложение "Прогресс теоретической физики". 118: 61–142. arXiv:hep-th / 9408113. Bibcode:1995PThPS.118 ... 61K. Дои:10.1143 / PTPS.118.61.
• Осакар, Карлос; Паласиан, Иисус; Паласиос, Мануэль (1995). «Численная оценка дилогарифма комплексного аргумента». Селест. Мех. Дин. Astron. 62 (1): 93–98. Bibcode:1995CeMDA..62 ... 93O. Дои:10.1007 / BF00692071.
• Загир, Дон (2007). «Функция дилогарифма». У Пьера Картье; Пьер Мусса; Бернар Джулия; Пьер Ванхов (ред.). Границы теории чисел, физики и геометрии II (PDF). С. 3–65. Дои:10.1007/978-3-540-30308-4_1. ISBN  978-3-540-30308-4.

дальнейшее чтение

• Блох, Спенсер Дж. (2000). Высшие регуляторы, алгебраические K-теория и дзета-функции эллиптических кривых. Серия монографий CRM. 11. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-2114-8. Zbl  0958.19001.

внешняя ссылка

• Цифровая библиотека математических функций NIST: Дилогарифм
• Вайсштейн, Эрик В. «Дилогарифм». MathWorld.