Аппроксимация Спужа - Spouges approximation - Wikipedia

В математике Приближение Спужа формула для вычисления приближения гамма-функция. Он был назван в честь Джона Л. Споужа, который определил формулу в статье 1994 года.^[1] Формула является модификацией Приближение Стирлинга, и имеет вид

${\displaystyle \Gamma (z+1)=(z+a)^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-z-a}\left(c_{0}+\sum _{k=1}^{a-1}{\frac {c_{k}}{z+k}}+\varepsilon _{a}(z)\right)}$

куда а - произвольное натуральное число, а коэффициенты имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\sqrt {2\pi }}\\c_{k}&={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}(-k+a)^{k-{\frac {1}{2}}}e^{-k+a}\qquad k\in \{1,2,\dots ,a-1\}.\end{aligned}}}$

Спуж доказал, что если Re (z)> 0 и а > 2, относительная ошибка отбрасывания ε_а(z) ограничен

${\displaystyle a^{-{\frac {1}{2}}}(2\pi )^{-a-{\frac {1}{2}}}.}$

Формула аналогична формуле Приближение Ланцоша, но имеет некоторые отличительные особенности^[2]. В то время как формула Ланцоша демонстрирует более быструю сходимость, коэффициенты Спужа вычислить гораздо проще, а ошибку можно установить произвольно низкой. Таким образом, формула применима для произвольная точность оценка гамма-функции. Однако следует проявлять особую осторожность, чтобы использовать достаточную точность при вычислении суммы из-за большого размера коэффициентов. c_k, а также их переменный знак. Например, для а = 49, необходимо вычислить сумму, используя примерно 65 десятичных знаков точности, чтобы получить обещанные 40 десятичных знаков точности.

Смотрите также

• Приближение Стирлинга
• Приближение Ланцоша

Рекомендации

1. Спуг, Джон Л. (1994). «Вычисление гамма-, дигамма- и тригамма-функций» (PDF). Журнал SIAM по численному анализу. 31 (3): 931–000. Дои:10.1137/0731050. JSTOR  2158038.
2. * Пью, Глендон (2004). Анализ приближения гамма Ланцоша (PDF) (Кандидатская диссертация).