Теорема взаимности Стэнли - Stanleys reciprocity theorem - Wikipedia

В комбинаторный математика, Теорема взаимности Стэнли, названный в честь Массачусетский технологический институт математик Ричард П. Стэнли, заявляет, что определенный функциональное уравнение удовлетворен производящая функция любого рационального конуса (определенного ниже) и производящей функции внутренней части конуса.

Определения

А рациональный конус это набор всех d-кортежи

(а₁, ..., а_d)

из неотрицательные целые числа удовлетворение система неравенства

${\displaystyle M\left[{\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{d}\end{matrix}}\right]\geq \left[{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\end{matrix}}\right]}$

куда M представляет собой матрицу целых чисел. А d-набор, удовлетворяющий соответствующему строгий неравенства, т. е. с «>», а не «≥», находится в интерьер конуса.

Производящая функция такого конуса равна

${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{d})=\sum _{(a_{1},\dots ,a_{d})\in {\rm {cone}}}x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{d}^{a_{d}}.}$

Производящая функция F_int(Икс₁, ..., Икс_d) внутренней части конуса определяется аналогично, но суммируется по d-конус скорее в интерьере, чем во всем конусе.

Можно показать, что это рациональные функции.

Формулировка

Теорема взаимности Стэнли утверждает, что для рационального конуса, как указано выше, мы имеем

${\displaystyle F(1/x_{1},\dots ,1/x_{d})=(-1)^{d}F_{\rm {int}}(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

Матиас Бек и Майк Девелин показали, как это доказать с помощью исчисление остатков. Девелин сказал, что это равносильно доказательству результата «без всякой работы».^{[нужна цитата ]}

Теорема взаимности Стэнли обобщает взаимность Эрхарта-Макдональда для Полиномы Эрхарта рационального выпуклые многогранники.

Смотрите также

• Многочлен Эрхарта

Рекомендации

• Р.П. Стэнли, "Комбинаторные теоремы взаимности", Успехи в математике, том 14 (1974), страницы 194–253.
• М. Бек, М. Девелин, О теореме взаимности Стэнли для рациональных конусов, 2004