Стационарное пространство-время - Stationary spacetime

В общая теория относительности, особенно в Уравнения поля Эйнштейна, а пространство-время как говорят стационарный если он допускает Вектор убийства то есть асимптотически подобный времени.^[1]

Описание и анализ

В стационарном пространстве-времени компоненты метрического тензора ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, могут быть выбраны так, чтобы все они не зависели от временной координаты. Линейный элемент стационарного пространства-времени имеет вид ${\displaystyle (i,j=1,2,3)}$

${\displaystyle ds^{2}=\lambda (dt-\omega _{i}\,dy^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j},}$

куда ${\displaystyle t}$ - координата времени, ${\displaystyle y^{i}}$ - три пространственные координаты и ${\displaystyle h_{ij}}$ - метрический тензор 3-мерного пространства. В этой системе координат векторное поле Киллинга ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ имеет компоненты ${\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)}$. ${\displaystyle \lambda }$ положительный скаляр, представляющий норму вектора Киллинга, т. е. ${\displaystyle \lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }}$, и ${\displaystyle \omega _{i}}$ является 3-вектором, называемым вектором закручивания, который обращается в нуль, когда вектор Киллинга ортогонален гиперповерхности. Последний возникает как пространственные компоненты 4-вектора крутки. ${\displaystyle \omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }}$(см., например,^[2] п. 163), ортогональный вектору Киллинга ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$, т.е. удовлетворяет ${\displaystyle \omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0}$. Вектор скручивания измеряет степень, в которой вектор Киллинга не может быть ортогональным семейству 3-поверхностей. Ненулевой поворот указывает на наличие вращения в геометрии пространства-времени.

Описанное выше координатное представление имеет интересную геометрическую интерпретацию.^[3] В перевод времени Вектор Киллинга порождает однопараметрическую группу движения ${\displaystyle G}$ в пространстве-времени ${\displaystyle M}$. Идентифицируя точки пространства-времени, которые лежат на определенной траектории (также называемой орбитой), мы получаем 3-мерное пространство (многообразие траекторий Киллинга) ${\displaystyle V=M/G}$, фактор-пространство. Каждая точка ${\displaystyle V}$ представляет собой траекторию в пространстве-времени ${\displaystyle M}$. Это отождествление, называемое канонической проекцией, ${\displaystyle \pi :M\rightarrow V}$ отображение, которое отправляет каждую траекторию в ${\displaystyle M}$ на точку в ${\displaystyle V}$ и индуцирует метрику ${\displaystyle h=-\lambda \pi *g}$ на ${\displaystyle V}$ через откат. Количество ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \omega _{i}}$ и ${\displaystyle h_{ij}}$ все поля на ${\displaystyle V}$ и, следовательно, не зависят от времени. Таким образом, геометрия стационарного пространства-времени не меняется во времени. В частном случае ${\displaystyle \omega _{i}=0}$ говорят, что пространство-время статический. По определению каждый статическое пространство-время стационарен, но обратное, как правило, неверно, так как Метрика Керра дает контрпример.

Использовать в качестве отправной точки для уравнений вакуумного поля

В стационарном пространстве-времени, удовлетворяющем вакуумным уравнениям Эйнштейна ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ вне источников, твист 4-вектор ${\displaystyle \omega _{\mu }}$ без локонов,

${\displaystyle \nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,}$

и поэтому локально является градиентом скаляра ${\displaystyle \omega }$ (называемый скаляром твиста):

${\displaystyle \omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,}$

Вместо скаляров ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \omega }$ удобнее использовать два потенциала Хансена, потенциал массы и углового момента, ${\displaystyle \Phi _{M}}$ и ${\displaystyle \Phi _{J}}$, определяется как^[4]

${\displaystyle \Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),}$

${\displaystyle \Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .}$

В общей теории относительности потенциал массы ${\displaystyle \Phi _{M}}$ играет роль ньютоновского гравитационного потенциала. Нетривиальный потенциал углового момента ${\displaystyle \Phi _{J}}$ возникает для вращающихся источников из-за вращательной кинетической энергии, которая, из-за эквивалентности массы и энергии, также может действовать как источник гравитационного поля. Ситуация аналогична статическому электромагнитному полю, в котором есть два набора потенциалов: электрический и магнитный. В общей теории относительности вращающиеся источники производят гравитомагнитное поле у которого нет ньютоновского аналога.

Таким образом, стационарная вакуумная метрика выражается через потенциалы Хансена ${\displaystyle \Phi _{A}}$ (${\displaystyle A=M}$, ${\displaystyle J}$) и 3-метрическая ${\displaystyle h_{ij}}$. В терминах этих величин уравнения Эйнштейна вакуумного поля могут быть записаны в виде^[4]

${\displaystyle (h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,}$

${\displaystyle R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2})^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],}$

куда ${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})}$, и ${\displaystyle R_{ij}^{(3)}}$ - тензор Риччи пространственной метрики и ${\displaystyle R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}}$ соответствующий скаляр Риччи. Эти уравнения являются отправной точкой для исследования точных стационарных метрик вакуума.

Смотрите также

• Статическое пространство-время
• Сферически симметричное пространство-время

Рекомендации

1. Людвигсен, М., Общая теория относительности: геометрический подход, Cambridge University Press, 1999 г. ISBN  052163976X
2. Вальд Р.М. (1984). Общая теория относительности, (U. Chicago Press)
3. Героч Р. (1971). J. Math. Phys. 12, 918
4. Хансен, Р.О. (1974). J. Math. Phys. 15, 46.