Теорема Штейнера – Лемуса - Steiner–Lehmus theorem

В Теорема Штейнера – Лемуса, теорема элементарной геометрии, была сформулирована К. Л. Лемус и впоследствии доказано Якоб Штайнер. Говорится:

Каждый треугольник с двумя биссектриса угла равной длины равнобедренный.

Теорема впервые упоминается в 1840 г. в письме К. Л. Лемуса к К. Штурм, в котором он попросил чисто геометрического доказательства. К. Штурм передал запрос другим математикам, и Якоб Штайнер был одним из первых, кто предложил решение. Теорема стала довольно популярной темой в элементарной геометрии с тех пор, когда по ней стали регулярно публиковаться статьи.[1][2][3]

Прямые доказательства

Теорема Штейнера – Лемуса может быть доказана с использованием элементарной геометрии путем доказательства контрпозитивного утверждения. Существуют некоторые разногласия по поводу того, возможно ли «прямое» доказательство; якобы «прямые» доказательства были опубликованы, но не все согласны с тем, что эти доказательства являются «прямыми». . »Например, существуют простые алгебраические выражения для биссектрис угла через стороны треугольника. Приравнивание двух из этих выражений и алгебраическое манипулирование уравнением приводит к произведению двух множителей, которые равны 0, но только один из них (а − б) может равняться 0, а другой должен быть положительным. Таким образома = б. Но это нельзя считать прямым, поскольку сначала нужно спорить о том, почему другой фактор не может быть равен 0.Джон Конвей[4]утверждал, что не может быть никакого доказательства "погони за равенством", потому что теорема (сформулированная алгебраически) не верна для произвольного поля, или даже когда отрицательные действительные числа допускаются в качестве параметров. Точное определение "прямого доказательства" внутри обоих классический и интуиционистская логика предоставлен Виктором Памбуччианом[5], который доказал, не представляя прямых доказательств, что прямые доказательства должны существовать как в классической логике, так и в контексте интуиционистской логики.

Примечания

  1. ^ Кокстер, Х. С. М. и Грейцер, С. Л. "Теорема Штейнера – Лемуса". §1.5 в «Возвращении к геометрии». Вашингтон, округ Колумбия: Математика. Доц. Америк., 1967, с. 14–16.
  2. ^ Дайан и Рой Доулинг: Неизменное наследие Людольфа Лемуса. Ссылки по математике Манитобы - Том II - Выпуск 3, весна 2002 г.
  3. ^ Барбара, Рой, "Повторное посещение Штайнера-Лемуса", Математический вестник 91, ноябрь 2007 г., стр. 528–529 (JSTOR )
  4. ^ Предполагаемая невозможность «прямого» доказательства теоремы Штейнера – Лемуса
  5. ^ Памбуччиан, Виктор (2018), «Безотрицательное и непротиворечивое доказательство теоремы Штейнера-Лемуса», Журнал формальной логики Нотр-Дам, 59: 75--90.

Ссылки и дополнительная литература

  • Джон Хортон Конвей, Алексей Рыба: Теорема Штейнера-Лемуса о биссектрисе угла. В: Мирча Питичи (Hrsg.): Лучшая работа по математике 2015 года. Princeton University Press, 2016 г., ISBN  9781400873371, стр. 154-166
  • Александр Остерманн, Герхард Ваннер: Геометрия по ее истории. Springer, 2012, стр. 224-225.
  • Дэвид Беран: SSA и теорема Штейнера-Лемуса. Учитель математики, Vol. 85, No. 5 (май 1992 г.), стр. 381-383 (JSTOR )
  • К. Ф. Парри: Вариация на тему Штайнера-Лемуса. The Mathematical Gazette, Vol. 62, No. 420 (июнь 1978), pp. 89-94 (JSTOR )
  • Мордехай Левин: К теореме Штейнера-Лемуса. Математический журнал, Vol. 47, No. 2 (март 1974), pp. 87-89 (JSTOR )
  • С. Абу-Саймех, М. Хаджа, Х. А. Шахали: Еще одна вариация на тему Штайнера-Лемуса. Forum Geometricorum 8, 2008, стр. 131-140
  • В. Памбучян, Х. Струве, Р. Струве: Теорема Штейнера-Лемуса и треугольники с конгруэнтными медианами равнобедренны в слабых геометриях. Beitraege zur Algebra und Geometrie 57 (2016), нет. 2, 483–497

внешняя ссылка