Уравнение Стейнхарта – Харта - Steinhart–Hart equation - Wikipedia

В Уравнение Стейнхарта – Харта это модель сопротивление из полупроводник в разных температуры. Уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=A+B\ln R+C(\ln R)^{3},}$

куда

${\displaystyle T}$ это температура (в кельвины ),

${\displaystyle R}$ сопротивление на ${\displaystyle T}$ (в омах),

${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle C}$ являются Коэффициенты Стейнхарта – Харта, которые различаются в зависимости от типа и модели термистор и интересующий температурный диапазон.

Использование уравнения

Уравнение часто используется для получения точной температуры термистора, поскольку оно обеспечивает более точное приближение к фактической температуре, чем более простые уравнения, и полезно во всем диапазоне рабочих температур датчика. Коэффициенты Стейнхарта – Харта обычно публикуются производителями термисторов.

Если коэффициенты Стейнхарта – Харта недоступны, их можно вывести. При точных температурах делаются три точных меры сопротивления, затем коэффициенты вычисляются путем решения трех одновременные уравнения.

Обратное к уравнению

Чтобы найти сопротивление полупроводника при заданной температуре, необходимо использовать обратное уравнение Стейнхарта – Харта. Увидеть Примечание по применению, «Коэффициенты A, B, C для уравнения Стейнхарта – Харта».

${\displaystyle R=\exp \left({\sqrt[{3}]{y-x}}-{\sqrt[{3}]{y+x}}\right),}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{2C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right),\\y&={\sqrt {\left({\frac {B}{3C}}\right)^{3}+x^{2}}}.\end{aligned}}}$

Коэффициенты Стейнхарта – Харта

Чтобы найти коэффициенты Стейнхарта – Харта, нам нужно знать как минимум три рабочие точки. Для этого мы используем три значения сопротивления для трех известных температур.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\ln R_{1}&\ln ^{3}R_{1}\\1&\ln R_{2}&\ln ^{3}R_{2}\\1&\ln R_{3}&\ln ^{3}R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{T_{1}}}\\{\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}}$

С ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{2}}$ и ${\displaystyle R_{3}}$ значения сопротивления при температурах ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$ и ${\displaystyle T_{3}}$, можно выразить ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ (все расчеты):

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=\ln R_{1},\quad L_{2}=\ln R_{2},\quad L_{3}=\ln R_{3}\\Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\quad Y_{2}={\frac {1}{T_{2}}},\quad Y_{3}={\frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{L_{2}-L_{1}}},\quad \gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1}}}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\right)\left(L_{1}+L_{2}+L_{3}\right)^{-1}\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\left(L_{1}^{2}+L_{1}L_{2}+L_{2}^{2}\right)\\\Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{aligned}}}$

Разработчики уравнения

Уравнение названо в честь Джона С. Стейнхарта и Стэнли Р. Харт кто впервые опубликовал отношения в 1968 году.^[1] Профессор Стейнхарт (1929–2003), сотрудник Американский геофизический союз и из Американская ассоциация развития науки, был членом факультета Университет Висконсина-Мэдисона с 1969 по 1991 гг.^[2] Доктор Харт, старший научный сотрудник Океанографическое учреждение Вудс-Хоул с 1989 г. и сотрудник Геологическое общество Америки, Американский геофизический союз, Геохимическое общество и Европейская ассоциация геохимии,^[3] был связан с профессором Стейнхартом в Институт Карнеги Вашингтона когда уравнение было разработано.

Вывод и альтернативы

Наиболее общий вид уравнения может быть получен путем расширения Уравнение параметра B в бесконечную серию:

${\displaystyle R=R_{0}e^{B\left({\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T_{0}}}\right)}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {1}{T_{0}}}+{\frac {1}{B}}\left(\ln {\frac {R}{R_{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}\ln {\frac {R}{R_{0}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(\ln {\frac {R}{R_{0}}}\right)^{n}}$

${\displaystyle R_{0}}$ является эталонным (стандартным) значением сопротивления. Уравнение Стейнхарта – Харта предполагает ${\displaystyle R_{0}}$ составляет 1 Ом. Подгонка кривой намного менее точна, если предполагается ${\displaystyle a_{2}=0}$ и другое значение ${\displaystyle R_{0}}$ например 1 кОм. Однако использование полного набора коэффициентов позволяет избежать этой проблемы, поскольку это просто приводит к смещению параметров.^[4]

В исходной статье Стейнхарт и Харт отмечают, что разрешение ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$ ухудшили посадку.^[1] Это удивительно, поскольку, если больше свободы, посадка обычно улучшается. Это может быть потому, что авторы подобрали ${\displaystyle 1/T}$ вместо ${\displaystyle T}$, и, следовательно, ошибка в ${\displaystyle T}$ увеличился от дополнительной свободы.^[5] В последующих работах было обнаружено большое преимущество в разрешении ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$.^[6]

Уравнение было разработано путем тестирования множества уравнений методом проб и ошибок и выбрано благодаря его простой форме и хорошему соответствию.^[1] Однако в своей первоначальной форме уравнение Стейнхарта – Харта недостаточно точно для современных научных измерений. Для интерполяции с использованием небольшого количества измерений расширение ряда с ${\displaystyle n=4}$ оказалось, что точность в пределах 1 мК в калиброванном диапазоне. Некоторые авторы рекомендуют использовать ${\displaystyle n=5}$.^[6] Если имеется много точек данных, стандартный полиномиальная регрессия может также создавать точные аппроксимации кривых. Некоторые производители начали предоставлять коэффициенты регрессии в качестве альтернативы коэффициентам Стейнхарта – Харта.^[7]

Рекомендации

1. Джон С. Стейнхарт, Стэнли Р. Харт, Калибровочные кривые для термисторов, Deep-Sea Research and Oceanographic Abstracts, Volume 15, Issue 4, August 1968, Pages 497–503, ISSN 0011-7471, Дои:10.1016/0011-7471(68)90057-0.
2. «Мемориальная резолюция факультета Университета Висконсин-Мэдисон в связи со смертью почетного профессора Джона С. Стейнхарта» (PDF). Университет Висконсина. 5 апреля 2004 г. Архивировано с оригинал (PDF) 10 июня 2010 г.. Получено 2 июля 2015.
3. "Доктор Стэн Харт",. Океанографическое учреждение Вудс-Хоул. Получено 2 июля 2015.
4. Матус, Майкл (октябрь 2011 г.). Измерение температуры в размерной метрологии - почему уравнение Стейнхарта – Харта так хорошо работает. MacroScale 2011. Ваберн, Швейцария.
5. Хоге, Гарольд Дж. (1 июня 1988 г.). «Полезная процедура наименьших квадратов и проверка некоторых уравнений для термисторов». Обзор научных инструментов. 59 (6): 975–979. Дои:10.1063/1.1139762. ISSN  0034-6748.
6. Рудч, Штеффен; фон Роден, Кристоф (1 декабря 2015 г.). «Калибровка и самопроверка термисторов для высокоточных измерений температуры». Измерение. 76: 1–6. Дои:10.1016 / j.measurement.2015.07.028. ISSN  0263-2241. Получено 8 июля 2020.
7. «Комментарии к уравнению Стейнхарта – Харта» (PDF). Building Automation Products Inc. 11 ноября 2015 г.. Получено 8 июля 2020.

внешняя ссылка

• Калькулятор коэффициентов Стейнхарта-Харта онлайн
• Калькулятор коэффициентов Стейнхарта-Харта Java