Лемма Стюарта – Уокера. - Stewart–Walker lemma

В Лемма Стюарта – Уокера. обеспечивает необходимые и достаточные условия для линейный возмущение из тензор поле быть измерять -инвариантный. ${displaystyle Delta delta T=0}$ если и только если одно из следующих

1. ${displaystyle T_{0}=0}$

2. ${displaystyle T_{0}}$ постоянное скалярное поле

3. ${displaystyle T_{0}}$ является линейной комбинацией произведений дельта-функций ${displaystyle delta _{a}^{b}}$

Вывод

Однопараметрическое семейство многообразий, обозначаемое ${displaystyle {mathcal {M}}_{epsilon }}$ с ${displaystyle {mathcal {M}}_{0}={mathcal {M}}^{4}}$ имеет метрика ${displaystyle g_{ik}=eta _{ik}+epsilon h_{ik}}$. Эти многообразия можно собрать вместе в 5-многообразие ${displaystyle {mathcal {N}}}$. Плавная кривая ${displaystyle gamma }$ можно построить через ${displaystyle {mathcal {N}}}$ с касательной 5-вектором ${displaystyle X}$, поперек ${displaystyle {mathcal {M}}_{epsilon }}$. Если ${displaystyle X}$ определяется так, что если ${displaystyle h_{t}}$ семейство однопараметрических отображений, которые отображают ${displaystyle {mathcal {N}} o {mathcal {N}}}$ и ${displaystyle p_{0}in {mathcal {M}}_{0}}$ затем точка ${displaystyle p_{epsilon }in {mathcal {M}}_{epsilon }}$ можно записать как ${displaystyle h_{epsilon }(p_{0})}$. Это также определяет отступить ${displaystyle h_{epsilon }^{*}}$ который отображает тензорное поле ${displaystyle T_{epsilon }in {mathcal {M}}_{epsilon }}$ обратно на ${displaystyle {mathcal {M}}_{0}}$. При достаточной гладкости можно определить разложение Тейлора

${displaystyle h_{epsilon }^{*}(T_{epsilon })=T_{0}+epsilon ,h_{epsilon }^{*}({mathcal {L}}_{X}T_{epsilon })+O(epsilon ^{2})}$

${displaystyle delta T=epsilon h_{epsilon }^{*}({mathcal {L}}_{X}T_{epsilon })equiv epsilon ({mathcal {L}}_{X}T_{epsilon })_{0}}$ - линейное возмущение ${displaystyle T}$. Однако, поскольку выбор ${displaystyle X}$ зависит от выбора измерять другой калибр можно взять. Следовательно, разница в толщине становится ${displaystyle Delta delta T=epsilon ({mathcal {L}}_{X}T_{epsilon })_{0}-epsilon ({mathcal {L}}_{Y}T_{epsilon })_{0}=epsilon ({mathcal {L}}_{X-Y}T_{epsilon })_{0}}$. Выбор Диаграмма куда ${displaystyle X^{a}=(xi ^{mu },1)}$ и ${displaystyle Y^{a}=(0,1)}$ тогда ${displaystyle X^{a}-Y^{a}=(xi ^{mu },0)}$ который является хорошо определенным вектором в любом ${displaystyle {mathcal {M}}_{epsilon }}$ и дает результат

${displaystyle Delta delta T=epsilon {mathcal {L}}_{xi }T_{0}.}$

Этого можно добиться только тремя способами, указанными в лемме.

Источники

• Стюарт Дж. (1991). Расширенная общая теория относительности. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-44946-4. Описывает вывод результата в разделе о производных Ли.