Многочлены Стилтьеса – Вигерта - Stieltjes–Wigert polynomials - Wikipedia

Не путать с Многочлен Стилтьеса.

Об обобщенных полиномах Стилтьеса – Вигерта см. q-полиномы Лагерра.

В математике Многочлены Стилтьеса – Вигерта (названный в честь Томас Ян Стилтьес и Карл Северин Вигерт ) представляют собой семейство основных гипергеометрических ортогональные многочлены в основном Схема Askey, для весовой функции ^[1]

${\displaystyle w(x)={\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp(-k^{2}\log ^{2}x)}$

на положительной реальной линии Икс > 0.

В проблема момента для полиномов Стилтьеса – Вигерта неопределенна; другими словами, существует множество других мер, дающих то же семейство ортогональных многочленов (см. Состояние Крейна ).

Koekoek et al. (2010) приводят в Разделе 14.27 подробный список свойств этих многочленов.

Определение

Полиномы заданы в терминах основные гипергеометрические функции и Символ Поххаммера к^[2]

${\displaystyle \displaystyle S_{n}(x;q)={\frac {1}{(q;q)_{n}}}{}_{1}\phi _{1}(q^{-n},0;q,-q^{n+1}x),}$

куда

${\displaystyle q=\exp \left(-{\frac {1}{2k^{2}}}\right).}$

Ортогональность

Поскольку проблема момента поскольку эти многочлены неопределенны, существует много различных весовых функций на [0, ∞], для которых они ортогональны. Два примера таких весовых функций:

${\displaystyle {\frac {1}{(-x,-qx^{-1};q)_{\infty }}}}$

и

${\displaystyle {\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp \left(-k^{2}\log ^{2}x\right).}$

Примечания

1. С точностью до постоянного множителя это ш(q^−1/2Икс) для весовой функции ш в Szeg (1975), раздел 2.7; см. также Koornwinder et al. (2010), Раздел 18.27 (vi).
2. До постоянного множителя S_п(Икс;q)=п_п(q^−1/2Икс) за п_п(Икс) в Szeg (1975), раздел 2.7.

Рекомендации

• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Базовый гипергеометрический ряд, Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, Дои:10.2277/0521833574, ISBN  978-0-521-83357-8, МИСТЕР  2128719
• Коэкоек, Рулоф; Лески, Питер А .; Свартту, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные многочлены и их q-аналоги, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, МИСТЕР  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), "Глава 18, Ортогональные многочлены", в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Сегё, Габор (1975), Ортогональные многочлены, Публикации коллоквиума 23, Американское математическое общество, четвертое издание, ISBN  978-0-8218-1023-1, МИСТЕР  0372517
• Стилтьес, Т. -Дж. (1894), «Исследования по фракциям продолжаются», Анна. Фак. Sci. Тулуза (На французском), VIII: 1–122, Дои:10.5802 / afst.108, JFM  25.0326.01, МИСТЕР  1344720
• Ван, Сян-Шэн; Вонг, Родерик (2010). «Равномерная асимптотика некоторых q-ортогональных многочленов». J. Math. Анальный. Приложение. 364 (1): 79–87. Дои:10.1016 / j.jmaa.2009.10.038.
• Вигерт, С. (1923), "Sur les polynomes orthogonaux et l'approximation des fonctions continue", Arkiv för matematik, astronomi och fysik (На французском), 17: 1–15, JFM  49.0296.01