Стохастический порядок - Stochastic ordering

В теория вероятности и статистика, а стохастический порядок количественно оценивает концепцию одного случайная переменная быть «больше», чем другой. Обычно это частичные заказы, так что одна случайная величина ${displaystyle A}$ не может быть стохастически больше, меньше или равно другой случайной величине ${displaystyle B}$. Существует много разных заказов, которые имеют разное применение.

Обычный стохастический порядок

Настоящая случайная величина ${displaystyle A}$ меньше случайной величины ${displaystyle B}$ в «обычном стохастическом порядке», если

${displaystyle Pr(A>x)leq Pr(B>x){ ext{ for all }}xin (-infty ,infty ),}$

куда ${displaystyle Pr(cdot )}$ обозначает вероятность события. Иногда его обозначают ${displaystyle Apreceq B}$ или же ${displaystyle Aleq _{st}B}$. Если дополнительно ${displaystyle Pr(A>x)<Pr(B>x)}$ для некоторых ${displaystyle x}$, тогда ${displaystyle A}$ стохастически строго меньше, чем ${displaystyle B}$, иногда обозначается ${displaystyle Aprec B}$. В теория принятия решений, в этом случае B как говорят стохастически доминирующий первого порядка над А.

Характеристики

Следующие правила описывают случаи, когда одна случайная величина стохастически меньше или равна другой. Также существуют строгие версии некоторых из этих правил.

1. ${displaystyle Apreceq B}$ тогда и только тогда, когда для всех неубывающих функций ${displaystyle u}$, ${displaystyle {m {E}}[u(A)]leq {m {E}}[u(B)]}$.
2. Если ${displaystyle u}$ не убывает и ${displaystyle Apreceq B}$ тогда ${displaystyle u(A)preceq u(B)}$
3. Если ${displaystyle u:mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} }$ это возрастающая функция^{[требуется разъяснение ]} и ${displaystyle A_{i}}$ и ${displaystyle B_{i}}$ независимые множества случайных величин с ${displaystyle A_{i}preceq B_{i}}$ для каждого ${displaystyle i}$, тогда ${displaystyle u(A_{1},dots ,A_{n})preceq u(B_{1},dots ,B_{n})}$ и в частности ${displaystyle sum _{i=1}^{n}A_{i}preceq sum _{i=1}^{n}B_{i}}$ Более того, ${displaystyle i}$th статистика заказов удовлетворить ${displaystyle A_{(i)}preceq B_{(i)}}$.
4. Если две последовательности случайных величин ${displaystyle A_{i}}$ и ${displaystyle B_{i}}$, с ${displaystyle A_{i}preceq B_{i}}$ для всех ${displaystyle i}$ каждый сходиться в распределении, то их пределы удовлетворяют ${displaystyle Apreceq B}$.
5. Если ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$ и ${displaystyle C}$ случайные величины такие, что ${displaystyle sum _{c}Pr(C=c)=1}$ и ${displaystyle Pr(A>u|C=c)leq Pr(B>u|C=c)}$ для всех ${displaystyle u}$ и ${displaystyle c}$ такой, что ${displaystyle Pr(C=c)>0}$, тогда ${displaystyle Apreceq B}$.

Другие свойства

Если ${displaystyle Apreceq B}$ и ${displaystyle {m {E}}[A]={m {E}}[B]}$ тогда ${displaystyle A{overset {d}{=}}B}$ (случайные величины равны по распределению).

Стохастическое доминирование

Стохастическое доминирование^[1] стохастический порядок, используемый в теория принятия решений. Определены несколько «порядков» стохастического доминирования.

• Стохастическое преобладание нулевого порядка состоит из простого неравенства: ${displaystyle Apreceq _{(0)}B}$ если ${displaystyle Aleq B}$ для всех состояния природы.
• Стохастическое доминирование первого порядка эквивалентно обычному стохастическому порядку, описанному выше.
• Стохастическое доминирование более высокого порядка определяется в терминах интегралов от функция распределения.
• Стохастическое доминирование более низкого порядка подразумевает стохастическое доминирование более высокого порядка.

Многомерный стохастический порядок

An ${displaystyle mathbb {R} ^{d}}$-значная случайная величина ${displaystyle A}$ меньше чем ${displaystyle mathbb {R} ^{d}}$-значная случайная величина ${displaystyle B}$ в «обычном стохастическом порядке», если

${displaystyle {m {E}}[f(A)]leq {m {E}}[f(B)]{ ext{ for all bounded, increasing functions }}f:mathbb {R} ^{d}longrightarrow mathbb {R} }$

Существуют и другие типы многомерных стохастических порядков. Например, верхний и нижний ортантный порядок похожи на обычный одномерный стохастический порядок. ${displaystyle A}$ считается меньше, чем ${displaystyle B}$ в верхнем порядке, если

${displaystyle Pr(A>mathbf {x} )leq Pr(B>mathbf {x} ){ ext{ for all }}mathbf {x} in mathbb {R} ^{d}}$

и ${displaystyle A}$ меньше чем ${displaystyle B}$ в нижнем ортанте, если

${displaystyle Pr(Aleq mathbf {x} )geq Pr(Bleq mathbf {x} ){ ext{ for all }}mathbf {x} in mathbb {R} ^{d}}$

Все три типа порядка также имеют интегральные представления, то есть для определенного порядка ${displaystyle A}$ меньше чем ${displaystyle B}$ если и только если ${displaystyle {m {E}}[f(A)]leq {m {E}}[f(B)]}$ для всех ${displaystyle f:mathbb {R} ^{d}longrightarrow mathbb {R} }$ в классе функций ${displaystyle {mathcal {G}}}$.^[2] ${displaystyle {mathcal {G}}}$ тогда называется генератором соответствующего порядка.

Другие стохастические ордера

Порядок оценки степени опасности

В степень опасности неотрицательной случайной величины ${displaystyle X}$ с абсолютно непрерывной функцией распределения ${displaystyle F}$ и функция плотности ${displaystyle f}$ определяется как

${displaystyle r(t)={frac {d}{dt}}(-log(1-F(t)))={frac {f(t)}{1-F(t)}}.}$

Учитывая две неотрицательные переменные ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$с абсолютно непрерывным распределением ${displaystyle F}$ и ${displaystyle G}$, и с функциями степени опасности${displaystyle r}$ и ${displaystyle q}$, соответственно,${displaystyle X}$ считается меньше, чем ${displaystyle Y}$ в порядке степени опасности (обозначается как ${displaystyle Xleq _{hr}Y}$) если

${displaystyle r(t)geq q(t)}$ для всех ${displaystyle tgeq 0}$,

или эквивалентно, если

${displaystyle {frac {1-F(t)}{1-G(t)}}}$ уменьшается в ${displaystyle t}$.

Порядок отношения правдоподобия

Позволять ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ две непрерывные (или дискретные) случайные величины с плотностями (или дискретными плотностями) ${displaystyle fleft(tight)}$ и ${displaystyle gleft(tight)}$соответственно, так что ${displaystyle {frac {gleft(tight)}{fleft(tight)}}}$ увеличивается в ${displaystyle t}$ над объединением опор ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$; в этом случае, ${displaystyle X}$ меньше чем ${displaystyle Y}$ в порядок отношения правдоподобия (${displaystyle Xleq _{lr}Y}$).

Средний остаточный срок службы

Приказы вариативности

Если две переменные имеют одинаковое среднее значение, их все равно можно сравнивать по тому, насколько «разбросаны» их распределения. Это отражено в ограниченной степени отклонение, но более полно по ряду стохастических порядков.^{[нужна цитата ]}

Выпуклый порядок

Выпуклый порядок - это особый вид порядка изменчивости. При выпуклом порядке ${displaystyle A}$ меньше чем ${displaystyle B}$ тогда и только тогда, когда для всех выпуклых ${displaystyle u}$, ${displaystyle {m {E}}[u(A)]leq {m {E}}[u(B)]}$.

Порядок преобразования Лапласа

Порядок преобразования Лапласа сравнивает размер и изменчивость двух случайных величин. Подобно выпуклому порядку, порядок преобразования Лапласа устанавливается путем сравнения математического ожидания функции случайной величины, где функция принадлежит специальному классу: ${displaystyle u(x)=-exp(-alpha x)}$. Это делает порядок преобразования Лапласа интегральным стохастическим порядком с набором генератора, заданным набором функций, определенным выше с помощью ${displaystyle alpha }$ положительное действительное число.

Реализуемая монотонность

Рассмотрение семейства вероятностных распределений ${displaystyle ({P}_{alpha })_{alpha in F}}$ на частично упорядоченном пространстве ${displaystyle (E,preceq )}$проиндексировано с ${displaystyle alpha in F}$ (куда ${displaystyle (F,preceq )}$ - еще одно частично упорядоченное пространство, можно определить понятие полной или реализуемой монотонности. Это означает, что существует семейство случайных величин ${displaystyle (X_{alpha })_{alpha }}$ на том же вероятностном пространстве, так что распределение ${displaystyle X_{alpha }}$ является ${displaystyle {P}_{alpha }}$ и ${displaystyle X_{alpha }preceq X_{eta }}$ почти наверняка всякий раз, когда ${displaystyle alpha preceq eta }$. Значит наличие монотонного связь. Видеть^[3]

Смотрите также

• Стохастическое доминирование
• Стохастик - значение термина

Рекомендации

1. М. Шакед и Дж. Г. Шантикумар, Стохастические ордера и их приложения, Ассошиэйтед Пресс, 1994.
2. Э. Л. Леманн. Заказанные семейства раздач. Анналы математической статистики, 26:399–419, 1955.

1. https://www.mcgill.ca/files/economics/stochasticdominance.pdf
2. Альфред Мюллер, Дитрих Стоян: Методы сравнения стохастических моделей и рисков. Уайли, Чичестер, 2002 г., ISBN  0-471-49446-1, С. 2.
3. Стохастическая монотонность и реализуемая монотонность Джеймс Аллен Филл и Мотоя Мачида, Annals of Probability, Vol. 29, No. 2 (апрель 2001 г.), стр. 938-978, опубликовано: Институтом математической статистики, стабильный URL: https://www.jstor.org/stable/2691998