Параметры Стокса - Stokes parameters

В Параметры Стокса представляют собой набор значений, описывающих поляризация состояние электромагнитное излучение. Они были определены Джордж Габриэль Стоукс в 1852 г.,^[1][2] в качестве математически удобной альтернативы более распространенному описанию бессвязный или частично поляризованное излучение с точки зрения его полного интенсивность (я), (дробное) степень поляризации (п), а параметры формы эллипс поляризации. Влияние оптической системы на поляризацию света можно определить, построив вектор Стокса для входящего света и применив Исчисление Мюллера, чтобы получить вектор Стокса света, покидающего систему. Оригинальная статья Стокса была открыта независимо Фрэнсис Перрин в 1942 г.^[3] и по Субрахаманян Чандрасекар в 1947 г.^[4][5], который назвал его параметрами Стокса.

Определения

Эллипс поляризации, показывающий связь с Сфера Пуанкаре параметры ψ и χ.

В Сфера Пуанкаре - параметризация трех последних параметров Стокса в сферические координаты.

Изображение состояний поляризации на сфере Пуанкаре

Связь параметров Стокса S₀, S₁, S₂, S₃ к параметрам эллипса интенсивности и поляризации показано в уравнениях ниже и на рисунке справа.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=Ip\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=Ip\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=Ip\sin 2\chi \end{aligned}}}$

Здесь ${\displaystyle Ip}$, ${\displaystyle 2\psi }$ и ${\displaystyle 2\chi }$ являются сферические координаты трехмерного вектора декартовы координаты ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$. ${\displaystyle I}$ - полная интенсивность пучка, а ${\displaystyle p}$ степень поляризации, ограниченная ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$. Фактор два до ${\displaystyle \psi }$ представляет собой тот факт, что любой эллипс поляризации неотличим от эллипса, повернутого на 180 °, в то время как множитель два перед ${\displaystyle \chi }$ указывает на то, что эллипс неотличим от эллипса, длина полуосей которого поменяна местами, что сопровождается поворотом на 90 °. Фазовая информация поляризованного света не записывается в параметрах Стокса. Четыре параметра Стокса иногда обозначают я, Q, U и V, соответственно.

Учитывая параметры Стокса, можно решить для сферические координаты со следующими уравнениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {arctan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

Векторы Стокса

Параметры Стокса часто объединяются в вектор, известный как Вектор Стокса:

${\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}$

Вектор Стокса охватывает Космос неполяризованного, частично поляризованного и полностью поляризованного света. Для сравнения Вектор Джонса охватывает только пространство полностью поляризованного света, но более полезен для задач, связанных с последовательный свет. Четыре параметра Стокса не являются предпочтительными система координат площади, а были выбраны потому, что их легко измерить или рассчитать.

Обратите внимание на неоднозначный знак для ${\displaystyle V}$ компонент в зависимости от используемого физического соглашения. На практике используются два отдельных соглашения: либо определение параметров Стокса при взгляде вниз по лучу в сторону источника (противоположное направлению распространения света), либо при взгляде вниз по лучу в сторону от источника (совпадающему с направлением распространения света). Эти два соглашения приводят к разным знакам для ${\displaystyle V}$, и конвенция должна быть выбрана и соблюдена.

Примеры

Ниже показаны некоторые векторы Стокса для общих состояний поляризации света.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (горизонтальный)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (вертикальный)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (+ 45 °)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}}$	Линейно поляризованный (-45 °)
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}$	Правая круговая поляризация
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}}$	Левая круговая поляризация
${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$	Неполяризованный

Альтернативное объяснение

А монохромный плоская волна определяется его вектор распространения, ${\displaystyle {\vec {k}}}$, а комплексные амплитуды из электрическое поле, ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$, в основа ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}$. Пара ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$ называется Вектор Джонса. В качестве альтернативы можно указать вектор распространения, фаза, ${\displaystyle \phi }$, а состояние поляризации ${\displaystyle \Psi }$, где ${\displaystyle \Psi }$ кривая электрического поля как функция времени в фиксированной плоскости. Наиболее известные состояния поляризации - линейное и круговое, которые выродиться случаи самого общего состояния, эллипс.

Один из способов описать поляризацию - дать полу-мажор и полу-минор оси эллипса поляризации, его ориентацию и направление вращения (см. рисунок выше). Параметры Стокса ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle U}$, и ${\displaystyle V}$, предоставляют альтернативное описание состояния поляризации, которое удобно с экспериментальной точки зрения, поскольку каждый параметр соответствует сумме или разности измеряемых интенсивностей. На следующем рисунке показаны примеры параметров Стокса в вырожденных состояниях.

Определения

Параметры Стокса определяются^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle +\langle E_{y}^{2}\rangle \\&=\langle E_{a}^{2}\rangle +\langle E_{b}^{2}\rangle \\&=\langle E_{r}^{2}\rangle +\langle E_{l}^{2}\rangle ,\\Q&\equiv \langle E_{x}^{2}\rangle -\langle E_{y}^{2}\rangle ,\\U&\equiv \langle E_{a}^{2}\rangle -\langle E_{b}^{2}\rangle ,\\V&\equiv \langle E_{r}^{2}\rangle -\langle E_{l}^{2}\rangle .\end{aligned}}}$

где нижние индексы относятся к трем различным базам пространства Джонс векторов: стандарт Декартова основа (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$), декартов базис, повернутый на 45 ° (${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$) и круговой основы (${\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}$). Круговой базис определяется так, что ${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$.

Символы ⟨⋅⟩ обозначают ожидаемые значения. Свет можно рассматривать как случайную величину, принимающую значения в пространстве C² из Джонс векторов ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$. Любое данное измерение дает определенную волну (с определенной фазой, эллипсом поляризации и величиной), но она продолжает мерцать и колебаться между разными результатами. Ожидаемые значения представляют собой различные средние значения этих результатов. Интенсивный, но неполяризованный свет будет иметь я > 0 но Q = U = V = 0, что свидетельствует об отсутствии преобладающего типа поляризации. Убедительная форма волны изображена в статье на согласованность.

Противоположным ему будет идеально поляризованный свет, который, кроме того, имеет фиксированную неизменяющуюся амплитуду - чистую синусоидальную кривую. Это представлено случайной величиной с единственным возможным значением, скажем ${\displaystyle (E_{1},E_{2})}$. В этом случае можно заменить скобки полосами абсолютных значений, получив четко определенную квадратичную карту.^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle {\begin{matrix}I\equiv |E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2}=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2}=|E_{r}|^{2}+|E_{l}|^{2}\\Q\equiv |E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U\equiv |E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V\equiv |E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\end{matrix}}}$

от векторов Джонса к соответствующим векторам Стокса; более удобные формы приведены ниже. Карта принимает свой образ в конусе, определяемом |я |² = |Q |² + |U |² + |V |², где чистота состояния удовлетворяет п = 1 (см. Ниже).

На следующем рисунке показано, как знаки параметров Стокса определяются спиральностью и ориентацией большой полуоси эллипса поляризации.

Представления в фиксированных базах

В фиксированной (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$), параметры Стокса при использовании возрастающее фазовое соглашение находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\Q&=|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&=2\mathrm {Re} (E_{x}E_{y}^{*}),\\V&=-2\mathrm {Im} (E_{x}E_{y}^{*}),\\\end{aligned}}}$

в то время как для ${\displaystyle ({\hat {a}},{\hat {b}})}$, они есть

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\Q&=-2\mathrm {Re} (E_{a}^{*}E_{b}),\\U&=|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&=2\mathrm {Im} (E_{a}^{*}E_{b}).\\\end{aligned}}}$

и для ${\displaystyle ({\hat {l}},{\hat {r}})}$, они есть

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&=2\mathrm {Re} (E_{l}^{*}E_{r}),\\U&=-2\mathrm {Im} (E_{l}^{*}E_{r}),\\V&=|E_{r}|^{2}-|E_{l}|^{2}.\\\end{aligned}}}$

Характеристики

Для чисто монохромный последовательный излучения, из приведенных выше уравнений следует, что

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},}$

тогда как для всего (некогерентного) излучения пучка параметры Стокса определяются как усредненные величины, а предыдущее уравнение становится неравенством:^[6]

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.}$

Однако мы можем определить полную интенсивность поляризации ${\displaystyle I_{p}}$, так что

${\displaystyle Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},}$

где ${\displaystyle I_{p}/I}$ - полная доля поляризации.

Определим комплексную интенсивность линейной поляризации как

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\equiv |L|e^{i2\theta }\\&\equiv Q+iU.\\\end{aligned}}}$

Под ротацией ${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$ эллипса поляризации, можно показать, что ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle V}$ инвариантны, но

${\displaystyle {\begin{aligned}L&\rightarrow e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow {\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow {\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{aligned}}}$

Обладая этими свойствами, параметры Стокса можно рассматривать как составляющие три обобщенных интенсивности:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\geq 0,\\V&\in \mathbb {R} ,\\L&\in \mathbb {C} ,\\\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle I}$ - общая интенсивность, ${\displaystyle |V|}$ - интенсивность круговой поляризации, а ${\displaystyle |L|}$ - интенсивность линейной поляризации. Полная интенсивность поляризации равна ${\displaystyle I_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}$, а ориентация и направление вращения задаются формулами

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

С ${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$ и ${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}|L|&={\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &={\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{aligned}}}$

Связь с эллипсом поляризации

В терминах параметров эллипса поляризации параметры Стокса равны

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{p}&=A^{2}+B^{2},\\Q&=(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=2ABh.\\\end{aligned}}}$

Обращение предыдущего уравнения дает

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&={\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta =&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=\operatorname {sgn}(V).\\\end{aligned}}}$

Связь с эрмитовыми операторами и квантовыми смешанными состояниями

С геометрической и алгебраической точек зрения параметры Стокса находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым выпуклым 4-вещественным конусом неотрицательных эрмитовых операторов в гильбертовом пространстве C². Параметр я служит следом оператора, тогда как элементы матрицы оператора являются простыми линейными функциями четырех параметров я, Q, U, V, служащая коэффициентами в линейной комбинации Операторы Стокса. Собственные значения и собственные векторы оператора могут быть вычислены из параметров эллипса поляризации я, п, ψ, χ.

Параметры Стокса с я равным 1 (т.е.операторы следа 1) находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутым единичным трехмерным шаром смешанные государства (или же операторы плотности ) квантового пространства C², границей которого является Сфера Блоха. В Джонс векторов соответствуют нижележащему пространству C², то есть (ненормализованный) чистые состояния той же системы. Обратите внимание, что фазовая информация теряется при переходе от чистого состояния | φ⟩ к соответствующему смешанному состоянию | φ⟩⟨φ |, точно так же, как она теряется при переходе от вектора Джонса к соответствующему вектору Стокса.

Смотрите также

• Исчисление Мюллера
• Исчисление Джонса
• Поляризация (волны)
• Модель неба Рэлея
• Операторы Стокса
• Поляризационное смешение

Примечания

1. Стокс, Г. Г. (1852). О составе и разрешении потоков поляризованного света от разных источников. Труды Кембриджского философского общества, 9, 399.
2. С. Чандрасекар 'Перенос излучения, Dover Publications, Нью-Йорк, 1960, ISBN  0-486-60590-6, стр.25
3. Перрин, Ф. (1942). Поляризация света, рассеянного изотропными опалесцирующими средами. Журнал химической физики, 10 (7), 415-427.
4. "С. Чандрасекар - Сессия II". Устные интервью по истории. AIP. 18 мая 1977 г.
5. Чандрасекхар, С. (1947). Перенос излучения в звездных атмосферах. Бюллетень Американского математического общества, 53 (7), 641-711.
6. Х. К. ван де Хюльст Рассеяние света мелкими частицами, Dover Publications, Нью-Йорк, 1981, ISBN  0-486-64228-3, стр. 42

Рекомендации

• Э. Коллетт, Полевое руководство по поляризации, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN  0-8194-5868-6.
• Э. Хехт, Оптика, 2-е изд., Addison-Wesley (1987). ISBN  0-201-11609-X.
• Уильям Х. Макмастер (1954). «Поляризация и параметры Стокса». Am. J. Phys. 22: 351. Bibcode:1954AmJPh..22..351M. Дои:10.1119/1.1933744.
• Уильям Х. Макмастер (1961). «Матричное представление поляризации». Ред. Мод. Phys. 33: 8. Bibcode:1961РвМП ... 33 .... 8М. Дои:10.1103 / RevModPhys.33.8.

внешняя ссылка