Более сильные отношения неопределенности - Stronger uncertainty relations - Wikipedia

Гейзенберга отношение неопределенности является одним из фундаментальных результатов квантовой механики.^[1] Позже Робертсон доказал соотношение неопределенностей для двух общих некоммутирующих наблюдаемые,^[2] который был усилен Шредингер.^[3] Однако обычное соотношение неопределенности, такое как соотношение Робертсона-Шредингера, не может дать нетривиальную оценку для произведения дисперсий двух несовместимых наблюдаемых, потому что нижняя граница в неравенствах неопределенности может быть нулевой и, следовательно, тривиальной даже для наблюдаемых, которые несовместимы на состояние системы. Соотношение неопределенностей Гейзенберга – Робертсона – Шредингера было доказано на заре квантового формализма и постоянно присутствует в преподавании и исследованиях квантовой механики. После примерно 85 лет существования отношения неопределенности эта проблема была недавно решена Лоренцо Макконе и Арун К. Пати.Стандартные соотношения неопределенностей выражаются как произведение дисперсий результатов измерения наблюдаемых величин. ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, и продукт может быть нулевым, даже если одна из двух дисперсий отлична от нуля. Однако более сильные соотношения неопределенностей, обусловленные Макконом и Пати, обеспечивают различные соотношения неопределенностей, основанные на сумме дисперсий, которые гарантированно будут нетривиальными, когда наблюдаемые несовместимы с состоянием квантовой системы.^[4] (Более ранние работы по соотношению неопределенностей, сформулированным как сумма дисперсий, включают, например, He et. Al. ^[5], и Ref. ^[6] из-за Хуана.)

Соотношения неопределенностей Макконе – Пати

Соотношения неопределенностей Гейзенберга – Робертсона или Шредингера не полностью отражают несовместимость наблюдаемых в данном квантовом состоянии. Более сильные соотношения неопределенностей дают нетривиальные оценки суммы дисперсий для двух несовместимых наблюдаемых. Для двух некоммутирующих наблюдаемых ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ первое более сильное соотношение неопределенности дается формулой

${\displaystyle \Delta A^{2}+\Delta B^{2}\geq \pm i\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle +|\langle \Psi |(A\pm iB)|{\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$

куда ${\displaystyle \Delta A^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi |A|\Psi \rangle ^{2}}$, ${\displaystyle \Delta B^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi |B|\Psi \rangle ^{2}}$, ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$ - вектор, ортогональный состоянию системы, т. е. ${\displaystyle \langle \Psi |{\bar {\Psi }}\rangle =0}$ и нужно выбрать знак ${\displaystyle \pm i\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle }$ так что это положительное число.

Другое нетривиальное более сильное соотношение неопределенностей дается формулой

${\displaystyle \Delta A^{2}+\Delta B^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}|(A+B)|\Psi \rangle |^{2},}$

куда ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ - единичный вектор, ортогональный ${\displaystyle |\Psi \rangle }$.Форма ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ означает, что правая часть нового отношения неопределенности отлична от нуля, если только ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ является собственным состоянием ${\displaystyle (A+B)}$.

Можно доказать улучшенную версию соотношения неопределенностей Гейзенберга – Робертсона, которая читается как

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq {\frac {\pm {\frac {i}{2}}\langle \Psi |[A,B]|\Psi \rangle }{1-{\frac {1}{2}}|\langle \Psi |({\frac {A}{\Delta A}}\pm i{\frac {B}{\Delta B}})|{\bar {\Psi }}\rangle |^{2}}}.}$

Соотношение неопределенностей Гейзенберга – Робертсона следует из указанного выше соотношения неопределенностей.

Замечания

В квантовой теории следует различать отношение неопределенности и принцип неопределенности. Первое относится исключительно к подготовке системы, которая вызывает разброс результатов измерения, и не относится к возмущениям, вызванным измерением. Принцип неопределенности учитывает помехи измерения прибором и невозможность совместных измерений несовместимых наблюдаемых. Отношения неопределенностей Макконе – Пати относятся к отношениям неопределенностей подготовки. Эти соотношения устанавливают строгие ограничения на отсутствие общих собственных состояний для несовместимых наблюдаемых. Соотношения неопределенностей Макконе-Пати были экспериментально проверены для систем кутрита.^[7]Новые соотношения неопределенностей отражают несовместимость не только наблюдаемых, но и физически измеримых величин (поскольку дисперсии могут быть измерены в эксперименте).

Рекомендации

1. Гейзенберг, В. (1927). "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik". Zeitschrift für Physik (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 43 (3–4): 172–198. Дои:10.1007 / bf01397280. ISSN  1434-6001.
2. Робертсон, Х. П. (1 июля 1929 г.). «Принцип неопределенности». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 34 (1): 163–164. Дои:10.1103 / Physrev.34.163. ISSN  0031-899X.
3. Э. Шредингер, "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften", Physikalisch-Mathematische Klasse 14, 296 (1930)
4. Макконе, Лоренцо; Пати, Арун К. (31 декабря 2014 г.). «Более сильные отношения неопределенности для всех несовместимых наблюдаемых». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 113 (26): 260401. arXiv:1407.0338. Дои:10.1103 / Physrevlett.113.260401. ISSN  0031-9007.
5. Он, Цюнъи; Пэн, Ши-Го; Драммонд, Питер; Рид, Маргарет (10 августа 2011 г.). «Планарное квантовое сжатие и атомная интерферометрия». Физический обзор A. 84: 022107. arXiv:1101.0448v2. Дои:10.1103 / PhysRevA.84.022107.
6. Хуан, Ичэнь (10 августа 2012 г.). «Отношения неопределенности на основе дисперсии». Физический обзор A. 86 (2): 024101. arXiv:1012.3105. Bibcode:2012PhRvA..86b4101H. Дои:10.1103 / PhysRevA.86.024101.
7. Ван, Кункун; Чжань, Сян; Биан, Чжихао; Ли, Цзянь; Чжан, Юншэн; Сюэ, Пэн (11 мая 2016 г.). «Экспериментальное исследование более сильных соотношений неопределенностей для всех несовместимых наблюдаемых». Физический обзор A. Американское физическое общество (APS). 93 (5): 052108. arXiv:1604.05901. Дои:10.1103 / Physreva.93.052108. ISSN  2469-9926.

Другие источники

• Обзор исследования, ПРИРОДА АЗИЯ, 19 января 2015 г. «Связь неопределенности Гейзенберга усиливается» ^[1]

1. «Связь неопределенности Гейзенберга усиливается». Природа Индии. 2015. Дои:10.1038 / nindia.2015.6.