Теорема об отделимости Штурма - Sturm separation theorem

Нули двух линейно независимых решений уравнения Уравнение Эйри ${displaystyle y''-xy=0}$ чередовать, как предсказывает теорема Штурма об отделимости.

В математика, в области обыкновенные дифференциальные уравнения, Теорема об отделимости Штурма, названный в честь Жак Шарль Франсуа Штурм, описывает расположение корней решений однородный второго порядка линейные дифференциальные уравнения. В основном теорема утверждает, что при наличии двух линейных независимых решений такого уравнения нули двух решений чередуются.

Теорема об отделимости Штурма

Для однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка и двух непрерывных линейных независимых решений ты(Икс) и v(Икс) с Икс₀ и Икс₁ последовательные корни ты(Икс), тогда v(Икс) имеет ровно один корень в открытом интервале (Икс₀, Икс₁). Это частный случай Теорема сравнения Штурма-Пиконе.

Доказательство

С ${displaystyle displaystyle u}$ и ${displaystyle displaystyle v}$ линейно независимы, то Вронскиан ${displaystyle displaystyle W[u,v]}$ должен удовлетворить ${displaystyle W[u,v](x)equiv W(x)eq 0}$ для всех ${displaystyle displaystyle x}$ где определено дифференциальное уравнение, скажем ${displaystyle displaystyle I}$. Без ограничения общности предположим, что ${displaystyle W(x)<0{mbox{ }}forall {mbox{ }}xin I}$. потом

${displaystyle u(x)v'(x)-u'(x)v(x)eq 0.}$

Так что на ${displaystyle displaystyle x=x_{0}}$

${displaystyle W(x_{0})=-u'left(x_{0}ight)vleft(x_{0}ight)}$

и либо ${displaystyle u'left(x_{0}ight)}$ и ${displaystyle vleft(x_{0}ight)}$ оба положительные или оба отрицательные. Без ограничения общности предположим, что оба они положительны. Сейчас на ${displaystyle displaystyle x=x_{1}}$

${displaystyle W(x_{1})=-u'left(x_{1}ight)vleft(x_{1}ight)}$

и с тех пор ${displaystyle displaystyle x=x_{0}}$ и ${displaystyle displaystyle x=x_{1}}$ последовательные нули ${displaystyle displaystyle u(x)}$ это вызывает ${displaystyle u'left(x_{1}ight)<0}$. Таким образом, чтобы сохранить ${displaystyle displaystyle W(x)<0}$ мы должны иметь ${displaystyle vleft(x_{1}ight)<0}$. Мы видим это, заметив, что если ${displaystyle displaystyle u'(x)>0{mbox{ }}forall {mbox{ }}xin left(x_{0},x_{1}ight]}$ тогда ${displaystyle displaystyle u(x)}$ будет увеличиваться (от ${displaystyle displaystyle x}$-axis), что никогда не приведет к нулю при ${displaystyle displaystyle x=x_{1}}$. Итак, чтобы ноль возник в ${displaystyle displaystyle x=x_{1}}$ в большинстве ${displaystyle u'left(x_{1}ight)=0}$ (т.е. ${displaystyle u'left(x_{1}ight)leq 0}$ и оказывается, по нашему результату из Вронскиан который ${displaystyle u'left(x_{1}ight)leq 0}$). Так что где-то в промежутке ${displaystyle left(x_{0},x_{1}ight)}$ знак ${displaystyle displaystyle v(x)}$ измененный. Посредством Теорема о промежуточном значении Существует ${displaystyle x^{*}in left(x_{0},x_{1}ight)}$ такой, что ${displaystyle vleft(x^{*}ight)=0}$.

С другой стороны, может быть только один ноль в ${displaystyle left(x_{0},x_{1}ight)}$, потому что в противном случае у v было бы два нуля и не было бы нулей u между ними, и было просто доказано, что это невозможно.

Рекомендации

• Тешль, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.