Серия Штурм - Sturm series

В математике Серия Штурм^[1] связаны с парой многочлены назван в честь Жак Шарль Франсуа Штурм.

Определение

Позволять ${ displaystyle p_ {0}}$ и ${ displaystyle p_ {1}}$ два одномерных многочлена. Предположим, что у них нет общего корня и степень ${ displaystyle p_ {0}}$ больше, чем степень ${ displaystyle p_ {1}}$ . В Серия Штурм построено:

{ displaystyle p_ {i}: = p_ {i + 1} q_ {i + 1} -p_ {i + 2} { text {for}} i geq 0.}

Это почти тот же алгоритм, что и Евклида но остальное ${ displaystyle p_ {я + 2}}$ имеет отрицательный знак.

Ряд Штурма, связанный с характеристическим многочленом

Посмотрим теперь серию Штурма ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, dots, p_ {k}}$ связано с характеристический многочлен ${ displaystyle P}$ в переменной ${ displaystyle lambda}$ :

{ Displaystyle P ( lambda) = a_ {0} lambda ^ {k} + a_ {1} lambda ^ {k-1} + cdots + a_ {k-1} lambda + a_ {k}}

где ${ displaystyle a_ {i}}$ для ${ displaystyle i}$ в ${ Displaystyle {1, точки, к }}$ являются рациональными функциями в ${ Displaystyle mathbb {R} (Z)}$ с набором координат ${ displaystyle Z}$ . Серия начинается с двух многочленов, полученных делением ${ Displaystyle P ( imath mu)}$ от ${ Displaystyle imath ^ {к}}$ где ${ displaystyle imath}$ представляет собой мнимую единицу, равную ${ displaystyle { sqrt {-1}}}$ и разделить действительную и мнимую части:

{ Displaystyle { begin {align} p_ {0} ( mu) &: = Re left ({ frac {P ( imath mu)} { imath ^ {k}}} right) = a_ {0} mu ^ {k} -a_ {2} mu ^ {k-2} + a_ {4} mu ^ {k-4} pm cdots p_ {1} ( mu) &: = - Im left ({ frac {P ( imath mu)} { imath ^ {k}}} right) = a_ {1} mu ^ {k-1} -a_ {3 } mu ^ {k-3} + a_ {5} mu ^ {k-5} pm cdots end {align}}}

Остальные члены определяются указанным выше соотношением. Благодаря особой структуре этих многочленов их можно записать в виде:

{ Displaystyle п_ {я} ( му) = с_ {я, 0} му ^ {ки} + с_ {я, 1} му ^ {ки-2} + с_ {я, 2} му ^ { ки-4} + cdots}

В этих обозначениях частное ${ displaystyle q_ {i}}$ равно ${ displaystyle (c_ {i-1,0} / c_ {i, 0}) mu}$ что обеспечивает условие ${ displaystyle c_ {я, 0} neq 0}$ . Кроме того, многочлен ${ displaystyle p_ {i}}$ замененный в приведенном выше соотношении дает следующие рекурсивные формулы для вычисления коэффициентов ${ displaystyle c_ {я, j}}$ .

{ displaystyle c_ {я + 1, j} = c_ {i, j + 1} { frac {c_ {i-1,0}} {c_ {i, 0}}} - c_ {i-1, j +1} = { frac {1} {c_ {i, 0}}} det { begin {pmatrix} c_ {i-1,0} & c_ {i-1, j + 1} c_ {i , 0} & c_ {i, j + 1} end {pmatrix}}.}

Если ${ displaystyle c_ {я, 0} = 0}$ для некоторых ${ displaystyle i}$ , частное ${ displaystyle q_ {i}}$ является полиномом более высокой степени, а последовательность ${ displaystyle p_ {i}}$ останавливается на ${ displaystyle p_ {h}}$ с участием ${ displaystyle h$ .

использованная литература

^ (На французском) С. Ф. Штурм. Résolution des équations algébriques. Bulletin de Férussac. 11: 419–425. 1829 г.

[Sturm1829-1] (На французском) С. Ф. Штурм. Résolution des équations algébriques. Bulletin de Férussac. 11: 419–425. 1829 г.

[1]