Субъективная логика - Subjective logic

Субъективная логика это тип вероятностная логика который явно принимает эпистемологические неуверенность и доверие к источнику во внимание. В целом субъективная логика подходит для моделирования и анализа ситуаций, связанных с неопределенностью и относительно ненадежными источниками.^[1][2][3] Например, его можно использовать для моделирования и анализа сети доверия и Байесовские сети.

Аргументы в субъективной логике - это субъективные мнения о переменных состояния, которые могут принимать значения из домена (также известного как пространство состояний), где значение состояния можно рассматривать как утверждение, которое может быть истинным или ложным. Биномиальное мнение относится к двоичной переменной состояния и может быть представлено как Бета-версия PDF (Функция плотности вероятности). Полиномиальное мнение применяется к переменной состояния из нескольких возможных значений и может быть представлено как Дирихле PDF (Функция плотности вероятности). Через соответствие между мнениями и распределениями Бета / Дирихле субъективная логика предоставляет алгебру для этих функций. Мнения также связаны с представлением веры в Теория убеждений Демпстера-Шафера.

Фундаментальный аспект человеческого состояния состоит в том, что никто никогда не может с абсолютной уверенностью определить, истинно или ложно утверждение о мире. Кроме того, всякий раз, когда выражается истинность предложения, это всегда делает человек, и это никогда не может рассматриваться как представление общего и объективного убеждения. Эти философские идеи напрямую отражены в математическом формализме субъективной логики.

Субъективные мнения

Субъективные мнения выражают субъективные убеждения об истинности государственных ценностей / утверждений со степенью эпистемологии. неуверенность, и при необходимости может явно указать источник убеждения. Мнение обычно обозначается как ${\displaystyle \omega _{X}^{A}}$ куда ${\displaystyle A\,\!}$ является источником мнения, и ${\displaystyle X\,\!}$ - это переменная состояния, к которой относится заключение. Переменная ${\displaystyle X\,\!}$ может принимать значения из домена (также называемого пространством состояний), например. обозначается как ${\displaystyle \mathbb {X} }$. Предполагается, что значения домена являются исчерпывающими и взаимно непересекающимися, и предполагается, что источники имеют общую семантическую интерпретацию домена. Источник и переменная являются атрибутами мнения. Указание источника можно не указывать, если оно не имеет значения.

Биномиальные мнения

Позволять ${\displaystyle x\,\!}$ быть значением состояния в двоичной области. Биномиальное мнение об истинности государственной ценности ${\displaystyle x\,\!}$ упорядоченная четверка ${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$ куда:

${\displaystyle b_{x}\,\!}$: масса веры	вера в то, что ${\displaystyle x\,\!}$ правда.
${\displaystyle d_{x}\,\!}$: масса неверия	вера в то, что ${\displaystyle x\,\!}$ ложно.
${\displaystyle u_{x}\,\!}$: масса неопределенности	количество незарегистрированных убеждений, также интерпретируемых как эпистемологические неуверенность.
${\displaystyle a_{x}\,\!}$: базовая ставка	это априорная вероятность при отсутствии веры или неверия.

Эти компоненты удовлетворяют ${\displaystyle b_{x}+d_{x}+u_{x}=1\,\!}$ и ${\displaystyle b_{x},d_{x},u_{x},a_{x}\in [0,1]\,\!}$. Характеристики различных классов мнений перечислены ниже.

Мнение	куда ${\displaystyle b_{x}=1\,\!}$	является абсолютным мнением, которое эквивалентно логическому ИСТИНА,
	куда ${\displaystyle d_{x}=1\,\!}$	является абсолютным мнением, которое эквивалентно логическому FALSE,
	куда ${\displaystyle b_{x}+d_{x}=1\,\!}$	является догматическим мнением, эквивалентным традиционной вероятности,
	куда ${\displaystyle b_{x}+d_{x}<1\,\!}$	неопределенное мнение, выражающее степень эпистемологической неуверенность, и
	куда ${\displaystyle b_{x}+d_{x}=0\,\!}$	бессмысленное мнение, выражающее все эпистемологические неуверенность или полная пустота веры.

Прогнозируемая вероятность биномиального мнения определяется как ${\displaystyle \mathrm {P} _{x}=b_{x}+a_{x}u_{x}\,\!}$.

Биномиальные мнения можно представить в виде равностороннего треугольника, как показано ниже. Точка внутри треугольника представляет собой ${\displaystyle (b_{x},d_{x},u_{x})\,\!}$ тройной. В б,d,ты-оси проходят от одного края к противоположной вершине, обозначенной меткой «Убеждение», «Неверие» или «Неопределенность». Например, сильное положительное мнение представлено точкой в ​​правом нижнем углу веры. Базовая ставка, также называемая априорной вероятностью, отображается красным указателем вдоль базовой линии, а прогнозируемая вероятность ${\displaystyle \mathrm {P} _{x}\,\!}$, формируется путем проецирования мнения на базу, параллельную линии проектора базовой скорости. Мнения о трех значениях / предложениях X, Y и Z визуализируются на треугольнике слева, а их эквивалентные бета-функции плотности вероятности (Probability Density Functions) визуализируются на графиках справа. Также показаны числовые значения и словесные качественные описания каждого мнения.

В Бета-версия PDF обычно обозначается как ${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta )\,\!}$ куда ${\displaystyle \alpha \,\!}$ и ${\displaystyle \beta \,\!}$ два его прочностных параметра. Бета-PDF биномиального мнения ${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$ это функция${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta ){\mbox{ where }}{\begin{cases}\alpha &={\frac {Wb_{x}}{u_{x}}}+Wa_{x}\\\beta &={\frac {Wd_{x}}{u_{x}}}+W(1-a_{x})\end{cases}}\,\!}$куда ${\displaystyle W}$ - неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства^[4], обычно устанавливается на ${\displaystyle W=2}$.

Мультиномиальные мнения

Позволять ${\displaystyle X\,\!}$ быть переменной состояния, которая может принимать значения состояния ${\displaystyle x\in \mathbb {X} \,\!}$. Полиномиальное мнение о ${\displaystyle X\,\!}$ составной ${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$, куда ${\displaystyle b_{X}\,\!}$ - это распределение массы убеждений по возможным государственным значениям ${\displaystyle X\,\!}$, ${\displaystyle u_{X}\,\!}$ - масса неопределенности, а ${\displaystyle a_{X}\,\!}$ - априорное (базовое) распределение вероятностей по возможным значениям состояния ${\displaystyle X\,\!}$. Эти параметры удовлетворяют ${\displaystyle u_{X}+\sum b_{X}(x)=1\,\!}$ и ${\displaystyle \sum a_{X}(x)=1\,\!}$ а также ${\displaystyle b_{X}(x),u_{X},a_{X}(x)\in [0,1]\,\!}$.

Триномиальные мнения можно просто визуализировать как точки внутри тетраэдр, но мнения с размерами больше трехчлена не поддаются простой визуализации.

PDF-файлы Дирихле обычно обозначаются как ${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})\,\!}$ куда ${\displaystyle p_{X}\,\!}$ - распределение вероятностей по значениям состояний ${\displaystyle X}$, и ${\displaystyle \alpha _{X}\,\!}$ - прочностные параметры. PDF-матрица Дирихле полиномиального мнения ${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$ это функция${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})}$ где прочностные параметры определяются выражением ${\displaystyle \alpha _{X}(x)={\frac {Wb_{X}(x)}{u_{X}}}+Wa_{X}(x)\,\!}$,куда ${\displaystyle W}$ - неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства^[4], обычно устанавливается на ${\displaystyle W=2}$.

Операторы

Большинство операторов в таблице ниже являются обобщениями бинарной логики и операторов вероятности. Например добавление просто обобщение сложения вероятностей. Некоторые операторы имеют смысл только для объединения биномиальных мнений, а некоторые также применимы к полиномиальным мнениям. ^[5] Большинство операторов являются бинарными, но дополнять унарный, и похищение является троичным. См. Ссылки на публикации для математических деталей каждого оператора.

Субъективные логические операторы, обозначения и соответствующие пропозициональные / бинарные логические операторы

Субъективный логический оператор	Обозначение оператора	Пропозициональный / бинарный логический оператор
Добавление[6]	${\displaystyle \omega _{x\cup y}^{A}=\omega _{x}^{A}+\omega _{y}^{A}\,\!}$	Союз
Вычитание[6]	${\displaystyle \omega _{x\backslash y}^{A}=\omega _{x}^{A}-\omega _{y}^{A}\,\!}$	Разница
Умножение[7]	${\displaystyle \omega _{x\land y}^{A}=\omega _{x}^{A}\cdot \omega _{y}^{A}\,\!}$	Соединение / И
Разделение[7]	${\displaystyle \omega _{x{\overline {\land }}y}^{A}=\omega _{x}^{A}/\omega _{y}^{A}\,\!}$	Несоединение / UN-AND
Умножение[7]	${\displaystyle \omega _{x\lor y}^{A}=\omega _{x}^{A}\sqcup \omega _{y}^{A}\,\!}$	Дизъюнкция / ИЛИ
Codivision[7]	${\displaystyle \omega _{x{\overline {\lor }}y}^{A}=\omega _{x}^{A}\;{\overline {\sqcup }}\;\omega _{y}^{A}\,\!}$	Нерасхождение / UN-OR
Дополнение[2][3]	${\displaystyle \omega _{\overline {x}}^{A}\;\;=\lnot \omega _{x}^{A}\,\!}$	НЕТ
Удержание[1]	${\displaystyle \omega _{Y\|X}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\circledcirc \omega _{X}^{A}\,\!}$	Modus ponens
Субъективный Теорема Байеса[1] [8]	${\displaystyle \omega _{X{\tilde {|}}Y}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\;{\widetilde {\phi \,}}\;a_{X}\,\!}$	Противопоставление
Похищение[1]	${\displaystyle \omega _{X{\widetilde {\|}}Y}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\;{\widetilde {\circledcirc }}\;(a_{X},\omega _{Y}^{A})\,\!}$	Modus tollens
Транзитивность / дисконтирование[1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A;B}=\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B}\,\!}$	нет данных
Накопительный синтез [1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A\diamond B}=\omega _{X}^{A}\oplus \omega _{X}^{B}\,\!}$	нет данных
Слияние ограничений[1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A\&B}=\omega _{X}^{A}\;\odot \;\omega _{X}^{B}\,\!}$	нет данных

Комбинация переходных источников может быть обозначена в компактной или развернутой форме. Например, транзитивный путь доверия от аналитика / источника ${\displaystyle A\,\!}$ через источник ${\displaystyle B\,\!}$ к переменной ${\displaystyle X\,\!}$ можно обозначить как ${\displaystyle [A;B,X]\,\!}$ в компактной форме или как ${\displaystyle [A;B]:[B,X]\,\!}$ в развернутом виде. Здесь, ${\displaystyle [A;B]\,\!}$ заявляет, что ${\displaystyle A}$ имеет некоторое доверие / недоверие к источнику ${\displaystyle B}$, в то время как ${\displaystyle [B,X]\,\!}$ заявляет, что ${\displaystyle B}$ имеет мнение о состоянии переменной ${\displaystyle X}$ который дается как совет ${\displaystyle A}$. Развернутая форма является наиболее общей и напрямую соответствует способу формирования субъективных логических выражений с помощью операторов.

Характеристики

В случае, если мнения аргументов эквивалентны логическому ИСТИНА или ЛОЖЬ, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего пропозиционального / бинарного логического оператора. Точно так же, когда аргументы мнений эквивалентны традиционным вероятностям, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего оператора вероятности (если он существует).

В случае, если аргументы мнений содержат степени неопределенности, операторы, включающие умножение и деление (включая дедукцию, абдукцию и теорему Байеса), будут производить производные мнения, которые всегда имеют правильную проекцию. вероятность но возможно с приблизительным отклонение при просмотре как PDF-файлы бета / дирихле.^[1]Все другие операторы дают заключения, в которых прогнозируемые вероятности и дисперсия всегда аналитически верны.

Различные логические формулы, которые традиционно эквивалентны в логике высказываний, не обязательно имеют одинаковые мнения. Например ${\displaystyle \omega _{x\land (y\lor z)}\neq \omega _{(x\land y)\lor (x\land z)}\,\!}$ в общем, хотя распределенность соединения над дизъюнкцией, выраженное как ${\displaystyle x\land (y\lor z)\Leftrightarrow (x\land y)\lor (x\land z)\,\!}$, выполняется в бинарной логике высказываний. Это неудивительно, поскольку соответствующие операторы вероятности также не являются распределительными. Однако умножение распределительно по сравнению с сложением, что выражается ${\displaystyle \omega _{x\land (y\cup z)}=\omega _{(x\land y)\cup (x\land z)}\,\!}$. Законы де Моргана также удовлетворены, например, выраженный ${\displaystyle \omega _{\overline {x\land y}}=\omega _{{\overline {x}}\lor {\overline {y}}}\,\!}$.

Субъективная логика позволяет очень эффективно вычислять математически сложные модели. Это возможно путем аппроксимации аналитически правильных функций. Хотя относительно просто аналитически умножить два бета-файла PDF в виде совместный бета-версия PDF, все более сложное быстро становится трудноразрешимым. При объединении двух бета-файлов PDF с некоторым оператором / связкой аналитический результат не всегда является бета-файлом PDF и может включать гипергеометрический ряд. В таких случаях субъективная логика всегда аппроксимирует результат как мнение, эквивалентное бета-версии PDF.

Приложения

Субъективная логика применима, когда анализируемая ситуация характеризуется значительным эпистемологическим неуверенность из-за неполных знаний. Таким образом, субъективная логика становится вероятностной логикой эпистемически неопределенных вероятностей. Преимущество состоит в том, что неопределенность сохраняется на протяжении всего анализа и явно выражается в результатах, чтобы можно было различать определенные и неопределенные выводы.

Моделирование сети доверия и Байесовские сети являются типичными приложениями субъективной логики.

Сети субъективного доверия

Сети субъективного доверия можно моделировать с помощью комбинации операторов транзитивности и слияния. Позволять ${\displaystyle [A;B]\,\!}$ выразить преимущество реферального доверия от ${\displaystyle A\,\!}$ к ${\displaystyle B\,\!}$, и разреши ${\displaystyle [B,X]\,\!}$ выражать край убеждения от ${\displaystyle B\,\!}$ к ${\displaystyle X\,\!}$. Сеть субъективного доверия может быть выражена, например, как ${\displaystyle ([A;B]:[B,X])\diamond ([A;C]:[C,X])\,\!}$ как показано на рисунке ниже.

Индексы 1, 2 и 3 указывают хронологический порядок, в котором формируются доверительные границы и советы. Таким образом, учитывая набор доверительных ребер с индексом 1, доверитель источника ${\displaystyle A\,\!}$ получает совет от ${\displaystyle B\,\!}$ и ${\displaystyle C\,\!}$, и, таким образом, может получить веру в переменную ${\displaystyle X\,\!}$. Выражая каждый край доверия и край убеждений как мнение, можно ${\displaystyle A\,\!}$ получить веру в ${\displaystyle X\,\!}$ выражается как ${\displaystyle \omega _{X}^{A}=\omega _{X}^{[A;B]\diamond [A;C]}=(\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B})\oplus (\omega _{C}^{A}\otimes \omega _{X}^{C})\,\!}$.

Сети доверия могут выражать надежность источников информации и могут использоваться для определения субъективных мнений о переменных, о которых источники предоставляют информацию.

Субъективная логика, основанная на доказательствах (EBSL)^[4] описывает альтернативное вычисление доверительной сети, где транзитивность мнений (дисконтирование) обрабатывается путем применения весов к свидетельствам, лежащим в основе мнений.

Субъективные байесовские сети

В байесовской сети ниже ${\displaystyle X\,\!}$ и ${\displaystyle Y\,\!}$ родительские переменные и ${\displaystyle Z\,\!}$ является дочерней переменной. Аналитик должен усвоить набор совместных условных мнений ${\displaystyle \omega _{Z|XY}}$ для того, чтобы применить оператор дедукции и вывести маргинальное мнение ${\displaystyle \omega _{Z\|XY}}$ по переменной ${\displaystyle Z}$. Условные мнения выражают условную связь между родительскими переменными и дочерней переменной.

Выведенное мнение вычисляется как ${\displaystyle \omega _{Z\|XY}=\omega _{Z|XY}\circledcirc \omega _{XY}}$. Мнение о совместных доказательствах ${\displaystyle \omega _{XY}}$ можно рассчитать как результат независимых доказательств, мнений по ${\displaystyle X\,\!}$ и ${\displaystyle Y\,\!}$, или как совместный продукт частично зависимых мнений о доказательствах.

Субъективные сети

Комбинация субъективной сети доверия и субъективной байесовской сети является субъективной сетью. Сеть субъективного доверия может использоваться для получения из различных источников мнений, которые будут использоваться в качестве исходных мнений для субъективной байесовской сети, как показано на рисунке ниже.

Традиционные байесовские сети обычно не принимают во внимание надежность источников. В субъективных сетях явно учитывается доверие к источникам.

Рекомендации

1. А. Йосанг. Субъективная логика: формализм для рассуждений в условиях неопределенности. Springer Verlag, 2016 г.
2. А. Йосанг. Искусственное рассуждение с субъективной логикой. Труды второго австралийского семинара по здравому смыслу, Перт 1997. PDF
3. А. Йосанг. Логика неопределенных вероятностей. Международный журнал неопределенности, нечеткости и систем, основанных на знаниях. 9 (3), стр. 279–311, июнь 2001 г. PDF
4. Скорич, Б .; Занноне, Н. (2016). «Потоковая репутация с неопределенностью: субъективная логика, основанная на доказательствах». Международный журнал информационной безопасности. 15: 381–402. arXiv:1402.3319. Дои:10.1007 / s10207-015-0298-5.
5. А. Йосанг. Вероятностная логика в условиях неопределенности. Труды по вычислениям: Австралийский симпозиум по теории (CATS'07), Балларат, январь 2007 г. PDF
6. Д. Макэналли и А. Йосанг. Сложение и вычитание убеждений. Материалы конференции по обработке информации и управлению неопределенностью в системах, основанных на знаниях (IPMU2004), Перуджа, июль 2004 г.
7. А. Йосанг и Д. Маканалли. Умножение и умножение убеждений. Международный журнал приблизительных рассуждений, 38/1, с. 19–51, 2004.
8. А. Йосанг. Обобщение теоремы Байеса в субъективной логике. Международная конференция IEEE по объединению и интеграции мультисенсоров для интеллектуальных систем, 2016 г. (MFI, 2016), Баден-Баден, Германия, 2016.

внешняя ссылка

• Субъективная логика Аудун Йосанг
• Структура субъективного логического экспериментирования на основе субъективных логических операторов в оценке доверия: эмпирическое исследование Ф. Черутти, Л. М. Каплан, Т. Дж. Норман, Н. Орен и А. Тониоло