Формула суммы остатков - Sum of residues formula - Wikipedia

В математике формула остатка говорит, что сумма вычетов мероморфной дифференциальной формы на гладкой собственной алгебраической кривой равна нулю.

Заявление

В этой статье, Икс обозначает правильный гладкий алгебраическая кривая над полем k. Мероморфный (алгебраическая) дифференциальная форма ${\displaystyle \omega }$ имеет на каждом закрытая точка Икс в Икс, а остаток^{[необходимо разрешение неоднозначности ]} который обозначается ${\displaystyle \operatorname {res} _{x}\omega }$. С ${\displaystyle \omega }$ имеет полюсы только в конечном числе точек, в частности, вычет равен нулю во всех точках, кроме конечного числа. Формула остатка гласит:

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {res} _{x}\omega =0.}$

Доказательства

Геометрический способ доказательства теоремы - сведение теоремы к случаю, когда Икс это проективная линия, и доказывая это явными вычислениями в этом случае, например в Альтман и Клейман (1970, Гл. VIII, стр. 177).

Тейт (1968) доказывает теорему, используя понятие следы для некоторых эндоморфизмов бесконечномерных векторных пространств. Вычет дифференциальной формы ${\displaystyle fdg}$ можно выразить через следы эндоморфизмов на поле дроби ${\displaystyle K_{x}}$ завершенных местных колец ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ что приводит к концептуальному доказательству формулы. Более недавнее изложение в том же духе, использующее более явное понятие Векторные пространства Тейта, дан кем-то Клаузен (2009).

Рекомендации

• Альтман, Аллен; Клейман, Стивен (1970), Введение в теорию двойственности Гротендика, Конспект лекций по математике, 146, Спрингер, МИСТЕР  0274461
• Клаузен, Дастин (2009), Бесконечномерная линейная алгебра, детерминантное линейное расслоение и расширение Каца – Муди, Гарвардский семинар 2009 г.
• Тейт, Джон (1968), «Остатки дифференциалов на кривых», Научные анналы высшей нормальной школы, 4, 1 (1): 149–159