Группы Suzuki - Suzuki groups

В области современной алгебры, известной как теория групп, то Группы Suzuki, обозначаемый Sz (2^2п+1), ²B₂(2^2п+1), Сузь (2^2п+1), или же грамм(2^2п+1), образуют бесконечное семейство группы лиева типа найден Сузуки (1960 ), которые просты для п ≥ 1. Эти простые группы - единственные конечные неабелевы группы, порядки которых не делятся на 3.

Конструкции

Сузуки

Сузуки (1960) первоначально группы Судзуки были построены как подгруппы SL₄(F_2^2п+1), порожденные некоторыми явными матрицами.

Ри

Ри заметил, что группы Судзуки являются неподвижными точками исключительных автоморфизмов некоторых симплектические группы размерности 4, и использовал это для построения еще двух семейств простых групп, названных Ри группы. В низшем случае симплектическая группа B₂(2) ≈S₆; это исключительный автоморфизм фиксирует подгруппу Sz (2) или ²B₂(2), порядка 20.Ono (1962 ) дал подробное изложение наблюдения Ри.

Сиськи

Сиськи (1962 ) построил группы Сузуки как симметрии некоторого овоида в 3-мерном проективном пространстве над полем характеристики 2.

Уилсон

Уилсон (2010 ) построил группы Сузуки как подгруппу симплектической группы в четырех измерениях, сохраняющую некоторое произведение на парах ортогональных векторов.

Характеристики

Пусть q = 2^{2n + 1}, г = 2^п, п неотрицательное целое число.

Группы Сузуки Sz (q) или ²B₂(q) просты для п≥1. Группа Sz (2) разрешима и является группой Фробениуса порядка 20.

Группы Сузуки Sz (q) имеют порядки q²(q²+1)(q−1). Эти группы имеют порядки, кратные 5, а не 3.

В Множитель Шура тривиально для п>1, Кляйн 4-группа за п= 1, т.е. е. Sz (8).

В группа внешних автоморфизмов является циклическим порядка 2п+1, заданные автоморфизмами поля порядка q.

Группа Сузуки Группы Цассенхауза действуя на наборы размера (2^2п+1)²+1, и имеют 4-мерные представления над полем с 2^2п+1 элементы.

Группы Suzuki CN-группы: централизатор каждого нетривиального элемента равен нильпотентный.

Подгруппы

Когда n - положительное целое число. Sz (q) имеет не менее 4 типов максимальных подгрупп.

Диагональная подгруппа циклическая, порядка q - 1.

Нижнетреугольная (борелевская) подгруппа и сопряженные с ней подгруппы порядка q²· (Q-1). Они являются одноточечными стабилизаторами в дважды транзитивном перестановочном представлении Sz (q).
Группа диэдра D_q-1, нормализатор диагональной подгруппы и сопрягает.
C_{д + 2р + 1}:4
C_{д-2р + 1}:4
Меньшие группы Сузуки, когда 2n + 1 составное.

Либо q + 2r + 1, либо q-2r + 1 делится на 5, так что Sz (q) содержит группу Фробениуса C₅:4.

Классы сопряженности

Сузуки (1960 ) показал, что группа Suzuki имеет q+3 класса сопряженности. Из этих q+1 сильно действительны, а два других - классы элементов порядка 4.

q²+1 Силовские 2-подгруппы порядка q², индекса q–1 в их нормализаторах. 1 класс элементов порядка 2, 2 класса элементов порядка 4.
q²(q²+1) / 2 циклические подгруппы порядка q–1 индекса 2 в их нормализаторах. Они составляют (q–2) / 2 класса сопряженности нетривиальных элементов.
Циклические подгруппы порядка q+2р+1, индекса 4 в их нормализаторах. Они составляют (q+2р) / 4 класса сопряженности нетривиальных элементов.
Циклические подгруппы порядка q–2р+1, индекса 4 в их нормализаторах. Они составляют (q–2р) / 4 класса сопряженности нетривиальных элементов.

Нормализаторы всех этих подгрупп являются группами Фробениуса.

Символы

Сузуки (1960) показал, что у группы Suzuki есть q+3 неприводимых представления над комплексными числами, 2 из которых являются комплексными, а остальные действительными. Они даны следующим образом:

Тривиальный характер степени 1.
В Представление Штейнберга степени q², происходящие из дважды транзитивного перестановочного представления.
(q–2) / 2 знака степени q²+1
Два сложных символа степени р(q–1) где р=2^п
(q+2р) / 4 знака степени (q–2р+1)(q–1)
(q–2р) / 4 знака степени (q+2р+1)(q–1).

внешняя ссылка

http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz8/

http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz32/ \