Задача трех детекторов и метод Ньюэллса - Three-detector problem and Newells method - Wikipedia

В Задача трех детекторов^[1] это проблема теории транспортных потоков. Дана однородная автострада, и автомобиль учитывается на двух станциях обнаружения. Мы ищем количество машин в каком-то промежуточном месте. Этот метод может применяться для обнаружения и диагностики инцидентов путем сравнения наблюдаемых и прогнозируемых данных, поэтому важно реалистичное решение этой проблемы. Ньюэлл Г.Ф.^[2][3][4] предложил простой способ решения этой проблемы. В Метод Ньюэлла, можно получить кумулятивную кривую подсчета (N-образную кривую) для любого промежуточного местоположения, просто сдвинув N-кривые восходящего и нисходящего детекторов. Метод Ньюэлла была разработана до того, как была предложена вариационная теория транспортного потока для систематического учета транспортных средств.^[5][6][7] В этой статье показано, как Метод Ньюэлла вписывается в контекст вариационной теории.

Частный случай для демонстрации метода Ньюэлла

Предположение. В этом частном случае мы используем треугольную фундаментальную диаграмму (TFD) с тремя параметрами: скорость свободного потока ${\displaystyle v_{f}}$, скорость волны -w и максимальная плотность ${\displaystyle k_{j}}$ (см. рисунок 1). Кроме того, мы рассмотрим длительный период исследования, когда трафик мимо восходящего детектора (U) не ограничен, а трафик мимо нисходящего детектора (D) ограничен, так что волны от обеих границ указывают в пространство решения (t, x) (см. Рисунок 2) .

Задача трех детекторов - вычислить транспортное средство в общей точке (P) на «мировой линии» детектора M (см. Рисунок 2). Восходящий поток. С состояние выше по течению не перегружено, должна быть характеристика с наклоном ${\displaystyle v_{f}}$ который достигает P от расположенного выше детектора. Такая волна должна излучаться ${\displaystyle \tau _{1}=L_{U}/v_{f}}$ раз раньше, в точке P 'на рисунке. С номер транспортного средства не изменяется по этой характеристике, мы видим, что номер транспортного средства на M-детекторе, рассчитанный из условий выше по потоку, такой же, как тот, который наблюдается на верхнем детекторе ${\displaystyle \tau _{1}}$ единицы времени раньше. С ${\displaystyle \tau _{1}}$ не зависит от состояния трафика (это константа), этот результат эквивалентен сдвиг сглаженной N-образной кривой верхнего детектора (кривая U на рисунке 3) вправо на величину ${\displaystyle \tau _{1}}$.

Вниз по течению. Так же, поскольку состояние перед детектором ниже по потоку поставлено в очередь, будет волна, достигающая P из местоположения ${\displaystyle P_{2}}$ со скоростью волны ${\displaystyle -w<0}$. В изменять в обозначении транспортного средства, эта характеристика может быть получена из конструкции движущегося наблюдателя на фиг. 4 для наблюдателя, движущегося вместе с волной. В нашем частном случае наклонная линия, соответствующая наблюдателю, параллельна перегруженной части TFD. Это означает, что поток наблюдателя не зависит от состояния трафика и принимает значение: ${\displaystyle k_{j}(-w)}$. Поэтому в время что требуется, чтобы волна достигла среднего места, ${\displaystyle \tau _{2}=L_{D}/(-w)}$, изменение считать является ${\displaystyle \delta =k_{j}(-w)\tau _{2}=k_{j}L_{D}}$; то есть изменение количества равно количеству автомобилей, которые попадают между M и D при плотности заторов. Этот результат эквивалентен сдвиг D-кривой вправо ${\displaystyle \tau _{2}}$ единиц и выше ${\displaystyle \delta }$ единицы.

Фактическое количество на M. Принимая во внимание принцип минимума Ньюэлла-Люка, мы видим, что фактический счет в M должен быть нижней огибающей U'- и D'-кривых. Это темные кривые M (t). В перекрестки U'- и D'-кривых обозначают прохождение ударной волны над детектором; то есть времена, когда переходы между состояниями в очереди и без очереди происходят, когда очередь продвигается и отступает через средний детектор. В площадь между U'- и M-кривыми - задержка перед точкой M, время поездки - горизонтальное расстояние между кривыми U (t), M (t) и D (t), накопление задается вертикальными расстояниями и т. д.

Математическое выражение. В терминах функции N (t, x) и положения детектора (${\displaystyle x_{u}}$, ${\displaystyle x_{m}}$, ${\displaystyle x_{d}}$) следующее:

${\displaystyle N(t,x_{m})=\min\{\ N(t-L_{U}/v_{f},x_{u})\ ,\ N(t+L_{D}/w,x_{d})+k_{j}L_{D}\ \}\qquad (1)}$

куда ${\displaystyle L_{U}=x_{m}-x_{u}}$ и ${\displaystyle L_{D}=x_{d}-x_{m}}$.

Основные принципы вариационной теории (ВТ)

Цель. Предположим, мы знать количество транспортных средств (N) вдоль границы в пространственно-временной области, и мы находясь в поиске количество транспортных средств в общей точке P (обозначается как ${\displaystyle N_{p}}$) за этой границей в сторону увеличения времени (см. рисунок 5).^[8]

Снова предположим, что наблюдатель начинает движение от границы к точке P по пути L. Мы знаем номер транспортного средства, которое видит наблюдатель, ${\displaystyle N_{L}}$. Затем мы разбиваем путь наблюдателя на небольшие участки (например, тот, который показан между A и B) и отмечаем, что мы также знаем максимальное количество транспортных средств, которое может пройти наблюдателя вдоль этого небольшого участка, ${\displaystyle C_{AB}}$. Формула относительной емкости говорит нам, что это: ${\displaystyle C_{AB}=r(v^{0})\Delta {t}}$. Для TFD и использования ${\displaystyle v_{AB}}$ для наклона отрезка AB, ${\displaystyle C_{AB}}$ можно записать как:

${\displaystyle C_{AB}=r(v_{AB})\Delta {t}=q_{0}\Delta {t}-k_{0}\Delta {x}=q_{0}(t_{B}-t_{A})-k_{0}(x_{B}-x_{A});for\ v_{AB}\in [-w,v_{f}]\qquad (2)}$

Итак, если мы теперь добавим номер транспортного средства на границе к сумме всех ${\displaystyle C_{AB}}$ вдоль пути L получаем оценку сверху для ${\displaystyle N_{p}}$. Эта верхняя граница применяется к любому наблюдателю, который движется со скоростью в диапазоне ${\displaystyle [-w,v_{f}]}$. Таким образом, мы можем написать:

${\displaystyle N_{P}\leq N_{L}+\sum _{L}(C_{AB}),\ v_{AB}\in [-w,v_{f}]\qquad (3)}$

Уравнения (1) и (2) основаны на ограничении относительной мощности, которое само следует из закона сохранения.

Принцип максимума. В нем говорится, что ${\displaystyle N_{P}}$ - максимально возможное значение с учетом ограничений емкости. Таким образом, рецепт VT:

${\displaystyle N_{P}=\min _{L}\{N_{L}+\sum _{L}(C_{AB})\}\qquad (4)}$

Уравнение (4) представляет собой задачу поиска кратчайшего пути (т. Е. Вариационного исчисления) с ${\displaystyle C_{AB}=r(v_{AB})}$ как функция стоимости. Оказывается, она дает то же решение, что и теория кинематических волн.

Обобщенное решение

 Три шага: 1. Найдите минимальное количество исходящих, ${\displaystyle N_{U}}$ 2. Найдите минимальное количество нисходящих потоков, ${\displaystyle N_{D}}$ 3. Выберите меньшее из двух, ${\displaystyle N_{P}=\min\{N_{U}\ ,\ N_{D}\}}$

Шаг 1

Все возможные прямые линии наблюдателя между границей выше по потоку и точкой P должны быть построены со скоростью наблюдателя меньше скорости свободного потока:

${\displaystyle C_{QP}=q_{0}\Delta {t}-k_{0}\Delta {x}=q_{0}(t_{P}-t_{Q})-k_{0}(x_{P}-x_{Q})\qquad (5)}$

куда ${\displaystyle \Delta {t}=t_{P}-t_{Q}={\frac {(x_{M}-x_{U})}{v_{QP}}}}$ за ${\displaystyle v_{QP}\in [0,v_{f}]}$ и ${\displaystyle \Delta {x}=x_{M}-x_{U}}$

Таким образом, нам нужно минимизировать ${\displaystyle {N_{Q}+q_{0}(t_{P}-t_{Q})-k_{0}(x_{M}-x_{U})}}$; т.е.

${\displaystyle N_{U}=\min _{t_{Q}}\{N_{Q}+q_{0}(t_{P}-t_{Q})-k_{0}(x_{M}-x_{U})\}\qquad (6)}$

С ${\displaystyle dN_{Q}/dt\leq q_{0}}$, мы видим, что целевая функция не возрастает и поэтому ${\displaystyle t_{Q}^{*}=t_{P_{1}}}$. Таким образом, Q следует разместить на ${\displaystyle P_{1}}$ и у нас есть:

${\displaystyle C_{QP}=C_{P_{1}P}=q_{0}\left({\frac {x_{M}-x_{U}}{v_{f}}}\right)-k_{0}(x_{M}-x_{U})=0\qquad (7)}$

Таким образом, ${\displaystyle N_{U}=N_{P_{1}}}$

Шаг 2

У нас есть:${\displaystyle N_{D}=\min _{Q^{'}}\{N_{Q^{'}}+C_{Q^{'}P}\}=\min _{Q^{'}}\{N_{Q^{'}}+q_{0}\Delta {t}-k_{0}\Delta {x}\}}$Повторите те же шаги, чтобы найти ${\displaystyle N_{D}}$ сводится к минимуму, когда ${\displaystyle Q^{'}=P_{2}}$. И в момент ${\displaystyle P_{2}}$ мы получили:

${\displaystyle N_{D}=N_{P_{2}}+q_{0}({\frac {x_{D}-x_{M}}{w}})-k_{0}(x_{D}-x_{M})\qquad (8)}$

Поскольку ФД треугольная, ${\displaystyle {\frac {q_{0}}{w}}+k_{0}=k_{j}}$. Следовательно, (8) сводится к:

${\displaystyle N_{D}=N_{P_{2}}+(x_{D}-x_{M})k_{j}\qquad (9)}$

Шаг 3

Чтобы получить решение, мы теперь выбираем меньшее из ${\displaystyle N_{U}}$ и ${\displaystyle N_{D}}$.

${\displaystyle N_{P}=\min\{N_{U}\ ,\ N_{D}\}=\min\{N_{P_{1}}\ ,\ N_{P_{2}}+(x_{D}-x_{M})k_{j}\}\qquad (10)}$

Это рецепт Ньюэлла для решения проблемы трех детекторов.

Смотрите также

• Принципиальная схема транспортного потока
• Принцип минимизации поломки Кернера
• Микроскопическая модель транспортного потока
• Микросимуляция
• Модель автомобиля Ньюэлла
• Управление дорожным движением
• Правило 184
• Теория трехфазного движения
• Узкое место трафика
• Пробки: реконструкция на основе трехфазной теории Кернера
• Счетчик трафика
• Транспортный поток
• Волна трафика

Рекомендации

1. Даганзо, Карлос. 1997. Основы транспортно-дорожной работы. Оксфорд: Пергамон.
2. Ньюэлл, Г. Ф. 1993. "Упрощенная теория кинематических волн в дорожном движении. Часть I, Общая теория". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 27Б (4).
3. Ньюэлл, Г. Ф. 1993. "Упрощенная теория кинематических волн в дорожном движении. Часть II. Очереди на узких местах на автомагистралях". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 27Б (4).
4. Ньюэлл, Г. Ф. 1993. "Упрощенная теория кинематических волн в дорожном движении. Часть III. Многопунктовые потоки". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 27Б (4).
5. Даганцо, Карлос Ф. 2005. "Вариационная формулировка кинематических волн: методы решения". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 39Б (10).
6. Даганзо, Карлос Ф. 2005. "Вариационная формулировка кинематических волн: основная теория и сложные граничные условия". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 39Б (2).
7. Даганзо, Карлос Ф. 2006. "К вариационной теории транспортного потока: корректность, двойственность и приложения". Сети и гетерогенные среды. 1 (4).
8. Даганзо, Карлос Ф. Конспекты лекций: Эксплуатация транспортных средств. Составлено Offer Grembek