Поперечный Меркатор: серия Bowring - Transverse Mercator: Bowring series - Wikipedia

В 1989 году Бернард Рассел Боуринг дал формулы для Поперечный Меркатор которые проще программировать, но сохраняют миллиметровую точность.^[1] Боуринг переписал ряд Редферна четвертого порядка (после отказа от мелких членов) в более компактной записи, заменив сферические члены, то есть те, которые не зависят от эллиптичности, точными выражениями, используемыми в сферической поперечной проекции Меркатора. Повышения точности не было, так как эллиптические члены все еще были усечены на уровне 1 мм. Такие модификации были возможны при минимальных вычислительных ресурсах.

Обозначение

${\displaystyle a}$ = радиус экватора выбранного сфероида (например, 6378137 м для GRS80 / WGS84)

${\displaystyle b}$ = полярная полуось сфероида

${\displaystyle k_{0}}$ = масштабный коэффициент по центральному меридиану (например, 0,9996 для UTM)

${\displaystyle \scriptstyle \phi }$   =  широта

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$  =  разница в долготе от центрального меридиана, в радианах, положительная к востоку

${\displaystyle m}$  =   меридиональное расстояние, измеренное на сфероиде от экватора до ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ (Смотри ниже)

E = расстояние к востоку от центрального меридиана, измеренное по поперечной проекции Меркатора

N = расстояние к северу от экватора, измеренное на поперечной проекции Меркатора

${\displaystyle \varepsilon \;=\;{\frac {2r-1}{(r-1)^{2}}}=\;{\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\;}$

куда р - величина, обратная сплющиванию для выбранного сфероида (для WGS84, р = 298,257223563 точно).

Преобразовать широту и долготу в поперечную проекцию Меркатора

${\displaystyle c=\cos \phi \qquad s=\sin \phi }$

${\displaystyle \nu \;=\;a{\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1+\varepsilon c^{2}}}}}$ (основной вертикальный радиус кривизны)

${\displaystyle z={\frac {\varepsilon \omega ^{3}c^{5}}{6}}}$

${\displaystyle \tan \theta _{2}\;=\;{\frac {2sc\sin ^{2}(\omega /2)}{s^{2}+c^{2}\cos \omega }}}$

${\displaystyle {\text{E}}\;=\;k_{0}\nu \left[{\tanh }^{-1}(c\sin \omega )+z\left(1+{\frac {\omega ^{2}}{10}}(36c^{2}-29)\right)\right]}$

${\displaystyle {\text{N}}\;=\;k_{0}\left[m+\nu \theta _{2}+{\frac {z\nu \omega s}{4}}(9+4\varepsilon c^{2}-11\omega ^{2}+20\omega ^{2}c^{2})\right]\,}$

(Обратите внимание, что ${\displaystyle \theta _{2}}$ должно быть в радианах.)

Поперечный Меркатор к широте и долготе

Чтобы преобразовать поперечные координаты Меркатора в широту и долготу, сначала вычислите ${\displaystyle \scriptstyle \phi '}$, широта следа - то есть широта точки на центральном меридиане, имеющей то же N, что и точка, которую нужно преобразовать; то есть широта, меридиональное расстояние которой на сфероиде равно N /${\displaystyle k_{0}}$. Приведенные ниже формулы Боуринга кажутся самыми быстрыми, но традиционных формул будет достаточно. потом

${\displaystyle c_{1}=\cos \phi '\qquad s_{1}=\sin \phi '}$

${\displaystyle \nu _{1}\;=\;a{\sqrt {\frac {1+\varepsilon }{1+\varepsilon {c_{1}}^{2}}}}}$

${\displaystyle x\;=\;{\frac {\text{E}}{k_{0}\nu _{1}}}}$

${\displaystyle \tan \theta _{4}\;=\;{\frac {\sinh x}{c_{1}}}}$

${\displaystyle \tan \theta _{5}\;=\;\tan \phi '\cos \theta _{4}}$

${\displaystyle \phi \;=\;\left(1+\varepsilon {c_{1}}^{2}\right)\left[\theta _{5}-{\frac {\varepsilon }{24}}x^{4}\tan \phi '(9-10{c_{1}}^{2})\right]-\varepsilon {c_{1}}^{2}\phi '}$

${\displaystyle \omega \;=\;\theta _{4}-{\frac {\varepsilon }{60}}x^{3}c_{1}\left(10-{\frac {4x^{2}}{{c_{1}}^{2}}}+x^{2}{c_{1}}^{2}\right)}$

(${\displaystyle \theta _{4}}$, ${\displaystyle \theta _{5}}$ и ${\displaystyle \scriptstyle \phi '}$ конечно должно быть в радианах, и ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ и ${\displaystyle \omega }$ будет.)

Меридианное расстояние

Боуринг дал формулы для меридионального расстояния (расстояние от экватора до заданной широты по линии север-юг на сфероиде), которые кажутся правильными в пределах 0,001 миллиметра на сфероидах размером с Землю.^[2] Символ п то же, что и в формулах Redfearn

${\displaystyle n\;=\;{\frac {a-b}{a+b}}\;=\;{\frac {1}{2r-1}}}$

${\displaystyle \tan \psi \quad =\quad \left({\frac {r-1}{r}}\right)\tan \phi \quad =\quad \left({\frac {1-n}{1+n}}\right)\tan \phi }$

${\displaystyle p=1-{\frac {3}{4}}n\cos 2\psi \qquad q={\frac {3}{4}}n\sin 2\psi }$

${\displaystyle Z=\left(1-{\frac {3}{8}}n^{2}\right)(p+qi)^{2/3}\qquad {\text{ where }}\;i={\sqrt {-1}}}$

Отбросить действительную часть комплексного числа Z; вычесть реальный коэффициент мнимой части Z из ${\displaystyle \psi }$ (в радианах), чтобы получить ${\displaystyle \theta }$. потом

${\displaystyle {\text{meridian distance}}\;=\quad {\frac {a\theta }{1+n}}\left(1+{\frac {n^{2}}{8}}\right)^{2}}$

(Обратите внимание, что если широта 90 градусов, то ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ , что, как оказалось, дает длину квадранта меридиана до одной триллионной метра на GRS 80.)

Для обратного (заданное меридианное расстояние, вычислить широту) вычислить ${\displaystyle \theta }$ используя последнюю формулу выше, тогда

${\displaystyle p'=1-{\frac {33}{20}}n\cos 2\theta \qquad q'={\frac {33}{20}}n\sin 2\theta }$

${\displaystyle Z'={\frac {5}{4}}\left(1-{\frac {9}{16}}n^{2}\right)(p'+q'i)^{8/33}}$

Отбросьте действительную часть Z 'и добавьте действительный коэффициент при я к ${\displaystyle \theta }$ получить уменьшенную широту ${\displaystyle \psi }$ (в радианах), который преобразуется в широту ${\displaystyle \scriptstyle \phi }$ используя уравнение в верхней части этого раздела.

Если ноль не на экваторе

Как указано выше, все формулы для эллипсоида предполагают, что северное положение на поперечной проекции Меркатора начинается с нуля на экваторе, как это происходит в проекции UTM северного полушария. Люди, использующие Британскую национальную сетку или Координаты на уровне штатов в Соединенных Штатах, имеют дополнительный шаг в своих вычислениях.

Британская национальная сетка устанавливает северное положение (49 градусов северной широты, 2 градуса западной долготы) равным -100000 метров. В нем используется сфероид Эйри с экваториальным радиусом 6377563,39603 метра и величиной, обратной сглаживанию 299,3249645938 (оба значения округлены); меридианное расстояние от экватора до 49 градусов широты составляет 5429228,602 метра на сфероиде. Округленный масштабный коэффициент на долготе 2 градуса западной долготы составляет 0,999601271775, поэтому на поперечной проекции Меркатора 49 градусов северной широты это 5427063,8153 метра от экватора.

Поэтому при преобразовании широты и долготы в британскую национальную сетку используйте приведенные выше формулы и вычтите 5527063,815 метра из вычисленного N.

Пример: преобразовать широту и долготу в UTM

NGS говорит Монумент Вашингтона находится на 38 градусах 53 мин 22.08269 сек северной широты, 77 градусах 02 мин 06.86575 сек западе на NAD83; что это за UTM?

Как и во всех расчетах NAD83, мы используем сфероид GRS80 с точным a = 6378137 метров и округленным r = 298,25722 2101. Если мы лениво возьмем это значение r как точное, мы получим ${\displaystyle \epsilon }$ = 0,00673 94967 75479 и n = 0,00167 92203 94629. Как и во всех расчетах UTM ${\displaystyle k_{0}}$ равно 0,9996 точно.

${\displaystyle \scriptstyle \nu }$ 6386568,5027 метров на широте памятника
z равно -1,43831 52572 раз ${\displaystyle 10^{-8}}$ у памятника

${\displaystyle \theta _{2}}$ выходит -0,00030 83836 79455 61242 радиан.

Далее получить м, меридианное расстояние от экватора до памятника:
${\displaystyle \psi }$ составляет 38,795469019 градусов = 0,677108669 радиан
поэтому p = 0,99972936, q = 0,00122999, а мнимая часть Z равна 0,000820069 раз я.
Вычтем 0,000820069 из 0,677108669, чтобы получить ${\displaystyle \theta }$ = 0,676288601 радиан и м составляет 4306233,2730 метров.

Подключите все это, и мы получим N = 4306479,5101 метр, E = -176516,8552 метра; прибавьте последнее к 500000 (значение восточного положения вдоль центрального меридиана во всех зонах UTM), чтобы получить восточное положение UTM 323483,1448 метров, что согласуется с таблицей данных NGS.

Рекомендации

1. Боуринг Б. Р. (1989). Обзор обзора, том 30 (Часть 233), стр 125–133, Поперечные уравнения Меркатора, полученные из сферического базиса.
2. Боуринг Б. Р. (1983). Bulletin Géodésique (Журнал геодезии), том 57, стр 374–381, Новые уравнения для меридионального расстояния.