Усеченная модель нормального препятствия - Truncated normal hurdle model

В эконометрика, то усеченная нормальная модель препятствий это вариант Модель Tobit и был впервые предложен Крэггом в 1971 году.^[1]

Определение

В стандартной модели Tobit, представленной как ${\displaystyle y=(x\beta +u)1[x\beta +u>0]}$, куда ${\displaystyle u|x\sim N(0,\sigma ^{2})}$Эта конструкция модели неявно накладывает два предположения первого порядка:^[2]

(1) Поскольку: ${\displaystyle \partial P[y>0]/\partial x_{j}=\varphi (x\beta /\sigma )\beta _{j}/\sigma }$ и ${\displaystyle \partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{j}=\beta _{j}\{1-\theta (x\beta /\sigma \}}$, частичный эффект ${\displaystyle x_{j}}$ на вероятность ${\displaystyle P[y>0]}$ и условное ожидание: ${\displaystyle \operatorname {E} [y\mid x,y>0]}$ имеет такой же знак:^[3]

(2) Относительные эффекты ${\displaystyle x_{h}}$ и ${\displaystyle x_{j}}$ на ${\displaystyle P[y>0]}$ и ${\displaystyle \operatorname {E} [y\mid x,y>0]}$ идентичны, то есть:

${\displaystyle {\frac {\partial P[y>0]/\partial x_{h}}{\partial P[y>0]/\partial x_{j}}}={\frac {\partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{h}}{\partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{j}}}={\frac {\beta _{h}}{\beta _{j}}}|}$

Однако эти два неявных предположения слишком сильны и несовместимы со многими контекстами в экономике. Например, когда нам нужно решить, инвестировать ли и построить завод, стоимость строительства может иметь большее влияние, чем цена продукта; но как только мы уже построили завод, цена продукта определенно больше влияет на выручку. Следовательно, неявное предположение (2) не соответствует этому контексту.^[4] Суть этой проблемы в том, что стандартный Tobit неявно моделирует очень сильную связь между решением об участии. ${\displaystyle (y=0}$ или же ${\displaystyle y>0)}$ и решение о сумме (величина ${\displaystyle y}$ когда ${\displaystyle y>0}$). Если модель углового решения представлена ​​в общем виде: ${\displaystyle y=s\centerdot w,}$ , куда ${\displaystyle s}$ это решение об участии и ${\displaystyle w}$ это решение о количестве, стандартная модель Tobit предполагает:

${\displaystyle s=1[x\beta +u>0];}$

${\displaystyle w=x\beta +u.}$

Чтобы сделать модель совместимой с большим количеством контекстов, естественным улучшением является предположение:

${\displaystyle s=1[x\gamma +u>0],{\text{ where }}u\sim N(0,1);}$

${\displaystyle w=x\beta +e,}$ где член ошибки (${\displaystyle e}$) распределяется как усеченное нормальное распределение с плотностью как ${\displaystyle \varphi (\cdot )/\Phi \left({\frac {x\beta }{\sigma }}\right)/\sigma ;}$

${\displaystyle s}$ и ${\displaystyle w}$ независимы при условии ${\displaystyle x}$.

Это называется усеченной моделью с нормальными препятствиями, предложенная Крэггом (1971).^[1] Добавив еще один параметр и отделив решение о сумме от решения об участии, модель может соответствовать большему количеству контекстов. В рамках этой модели плотность ${\displaystyle y}$ данный ${\displaystyle x}$ можно записать как:

${\displaystyle f(y\mid x)=[1-\Phi (\chi \gamma )]^{1}[_{y-0}]\cdot \left[{\frac {\Phi \ (\chi \gamma )}{\Phi (\chi \beta /\sigma )}}\left.\varphi \left({\frac {y-\chi \beta }{\sigma }}\right)\right/\sigma \right]^{1}[_{^{y}>0}]}$

Из этого представления плотности очевидно, что оно выродится в стандартную модель Тобита, когда ${\displaystyle \gamma =\beta /\sigma .}$ Это также показывает, что усеченная модель нормальных препятствий является более общей, чем стандартная модель Тобита.

Модель усеченных нормальных препятствий обычно оценивается с помощью MLE. Функцию логарифма правдоподобия можно записать как:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\beta ,\gamma ,\sigma )={}&\sum _{i=1}^{N}1[y_{i}=0]\log[1-\Phi (x_{i}\gamma )]+1[y_{i}>0]\log[\Phi (x_{i}\gamma )]\\[5pt]&{}+1[y_{i}>0]\left[-\log \left[\Phi \left({\frac {x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right]+\log \left(\varphi \left({\frac {y_{i}-x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right)-\log(\sigma )\right]\end{aligned}}}$

Из функции логарифмического правдоподобия ${\displaystyle \gamma }$ можно оценить с помощью пробит-модели и ${\displaystyle (\beta ,\sigma )}$ можно оценить с помощью модели усеченной нормальной регрессии.^[5] На основе этих оценок можно сделать соответствующие оценки для среднего частичного эффекта.

Смотрите также

• Модель препятствий
• Модель Tobit

Рекомендации

1. Крэгг, Джон Г. (сентябрь 1971 г.). «Некоторые статистические модели для ограниченных зависимых переменных применительно к спросу на товары длительного пользования». Econometrica. 39 (5): 829–844. Дои:10.2307/1909582. JSTOR  1909582.
2. Вулдридж, Дж. (2002): Эконометрический анализ поперечных сечений и панельных данных, MIT Press, Cambridge, Mass, pp 690.
3. Здесь обозначения соответствуют Wooldrige (2002). Функция ${\displaystyle \theta (x)=\lambda '}$ куда ${\displaystyle \lambda (x)=\varphi (\chi )/\Phi (\chi ),}$ можно доказать, что оно находится между 0 и 1.
4. Дополнительный пример применения модели углового решения см .: Daniel J. Phaneuf, (1999): «Двойной подход к моделированию угловых решений в рекреационном спросе», Journal of Environmental Economics and Management, Volume 37, Issue 1, Pages 85- 105, ISSN 0095-0696.
5. Вулдридж, Дж. (2002): эконометрический анализ данных поперечного сечения и панелей, MIT Press, Cambridge, Mass, pp 692-694.