Неравенство Турана - Turáns inequalities - Wikipedia

В математике Неравенство Турана некоторые неравенства для Полиномы Лежандра найден Пол Туран  (1950 ) (и впервые опубликовано Сегё (1948) ). Есть много обобщений на другие многочлены, часто называемые неравенствами Турана, которые даны (Э. Ф. Беккенбах, В. Зайдель и Отто Сас1951 ) и других авторов.

Если п_п это пth Полином Лежандра, Неравенства Турана утверждают, что

${\displaystyle \,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x){\text{ for }}-1<x<1.}$

За ЧАС_п, то пth Многочлен Эрмита, Неравенства Турана

${\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0~,}$

в то время как для Полиномы Чебышева они есть

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0{\text{ for }}-1<x<1~.}$

Смотрите также

• Неравенство Аски – Гаспера
• Цепь Штурма

Рекомендации

• Beckenbach, E. F .; Seidel, W .; Сас, Отто (1951), "Рекуррентные определители Лежандра и ультрасферических многочленов", Duke Math. Дж., 18: 1–10, Дои:10.1215 / S0012-7094-51-01801-7, МИСТЕР  0040487
• Сегё, Г. (1948), "Об одном неравенстве П. Турана относительно полиномов Лежандра", Бык. Амер. Математика. Soc., 54 (4): 401–405, Дои:10.1090 / S0002-9904-1948-09017-6, МИСТЕР  0023954
• Туран, Пол (1950), "О нулях многочленов Лежандра", Časopis Pěst. Мат. Fys., 75: 113–122, МИСТЕР  0041284