График Тутте - Tutte graph - Wikipedia
График Тутте | |
---|---|
![]() График Тутте | |
Названный в честь | В. Т. Тутте |
Вершины | 46 |
Края | 69 |
Радиус | 5 |
Диаметр | 8 |
Обхват | 4 |
Автоморфизмы | 3 (Z/3Z) |
Хроматическое число | 3 |
Хроматический индекс | 3 |
Характеристики | Кубический Планарный Многогранник |
Таблица графиков и параметров |
в математический поле теория графов, то График Тутте это 3-регулярный граф с 46 вершинами и 69 ребрами, названными в честь В. Т. Тутте.[1] Она имеет хроматическое число 3, хроматический индекс 3, обхват 4 и диаметр 8.
Граф Тутте - это кубический многогранный граф, но негамильтониан. Следовательно, это контрпример к Гипотеза Тэйта что каждый 3-правильный многогранник имеет гамильтонов цикл.[2]
Опубликованный Тутте в 1946 году, это первый контрпример, построенный для этой гипотезы.[3] Позже были найдены и другие контрпримеры, во многих случаях основанные на Теорема Гринберга.
Строительство
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/Tutte_fragment.svg/130px-Tutte_fragment.svg.png)
Из небольшого плоского графа, называемого фрагментом Тутте, В. Т. Тутте построил негамильтонов многогранник, сложив три таких фрагмента. «Обязательные» ребра фрагментов, которые должны быть частью любого гамильтонова пути через фрагмент, соединяются в центральной вершине; поскольку любой цикл может использовать только два из этих трех ребер, гамильтонова цикла быть не может.
Полученный граф 3-связный и планарный, так что Теорема Стейница это график многогранника. В нем 25 лиц.
Его можно реализовать геометрически из тетраэдра (грани которого соответствуют четырем большим девятиугольным граням на чертеже, три из которых находятся между парами фрагментов, а четвертая из которых образует внешность) путем умножения усечения трех его вершин. .
Алгебраические свойства
Группа автоморфизмов графа Тутте есть Z/3Z, то циклическая группа порядка 3.
В характеристический многочлен графа Тутте:
Связанные графики
Хотя граф Тутте является первым обнаруженным 3-регулярным негамильтоновым многогранным графом, это не самый маленький такой граф.
В 1965 году Ледерберг основал Граф Барнетта – Босака – Ледерберга на 38 вершинах.[4][5] В 1968 году Гринберг построил дополнительные малые контрпримеры к гипотезе Тейта - графы Гринберга на 42, 44 и 46 вершинах.[6] В 1974 г. Фолкнер и Янгер опубликовали еще два графа - графы Фолкнера – Янгера на 42 и 44 вершинах.[7]
Наконец, Холтон и Маккей показали, что существует ровно шесть 38-вершинных негамильтоновых многогранников, которые имеют нетривиальные трехреберные разрезы. Они образуются заменой двух вершин пятиугольная призма тем же фрагментом, что и в примере Тутте.[8]
Рекомендации
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "График Тутте". MathWorld.
- ^ Tait, P.G. (1884), "Листинг" Топология", Философский журнал, 5-я серия, 17: 30–46. Перепечатано в Научные статьи, Vol. II, стр. 85–98.
- ^ Тутте, В. Т. (1946), «О гамильтоновых схемах» (PDF), Журнал Лондонского математического общества, 21 (2): 98–101, Дои:10.1112 / jlms / s1-21.2.98.
- ^ Ледерберг, Дж. "DENDRAL-64: Система для компьютерного построения, перечисления и записи органических молекул в виде древовидных структур и циклических графов. Часть II. Топология циклических графов". Промежуточный отчет для Национального управления по аэронавтике и исследованию космического пространства. Грант НСГ 81-60. 15 декабря 1965 г. [1].
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "График Барнетта-Босака-Ледерберга". MathWorld.
- ^ Гринберг, Э. Дж. "Плоские однородные графы степени три без гамильтоновых схем". Латвийская математика. Ежегодник, Издат. Зинатне, Рига 4, 51–58, 1968.
- ^ Фолкнер, Г. Б. и Янгер, Д. Х. «Негамильтоновы кубические плоские отображения». Дискретная математика. 7, 67–74, 1974.
- ^ Холтон, Д. А .; Маккей, Б.Д. (1988), «Наименьшие негамильтоновы 3-связные кубические плоские графы имеют 38 вершин», Журнал комбинаторной теории, серия B, 45 (3): 305–319, Дои:10.1016/0095-8956(88)90075-5.