Двумерный поток - Two-dimensional flow

Жидкое движение можно сказать, что это двумерный поток когда скорость потока в каждой точке параллельна фиксированной плоскости. Скорость в любой точке данной нормали к этой фиксированной плоскости должна быть постоянной.

Скорость потока в двумерных потоках

Скорость потока в декартовых координатах

Рассматривая двумерное течение в ${\displaystyle X-Y}$ плоскости, скорость потока в любой точке ${\displaystyle (x,y,z)}$ вовремя ${\displaystyle t}$ можно выразить как -

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {i}}}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {j}}}.}$

Скорость в цилиндрических координатах

Рассматривая двумерное течение в ${\displaystyle r-\theta }$ плоскости скорость потока в точке ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ вовремя ${\displaystyle t}$ можно выразить как -

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(r,\theta ,z,t)=v_{r}(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {r}}}+v_{\theta }(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

Завихренность в двумерных потоках

Завихренность в декартовых координатах

Завихренность в двумерных потоках в ${\displaystyle X-Y}$ самолет можно выразить как -

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}},}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.}$

Завихренность в цилиндрических координатах

Завихренность в двумерных потоках в ${\displaystyle r-\theta }$ самолет можно выразить как -

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}}$

${\displaystyle \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}.}$

Двумерные источники и раковины

Линия / точечный источник

Линейный источник - это линия, от которой жидкость появляется и уходит в плоскостях, перпендикулярных линии. Когда мы рассматриваем двумерные потоки в перпендикулярной плоскости, линейный источник появляется как точечный. В силу симметрии мы можем предположить, что жидкость течет радиально наружу от источника. Сила источника может быть задана величиной объемный расход ${\displaystyle Q}$ что он производит.

Рисунок 1 – Линии обтекаемости потока, создаваемого линейным источником, совпадающим с ${\displaystyle Z}$-ось

Линия / точечная раковина

Подобно линейному источнику, линейный сток - это линия, которая поглощает текучую среду, текущую к нему из плоскостей, перпендикулярных ему. Когда мы рассматриваем двумерные потоки в перпендикулярной плоскости, это выглядит как точечный сток. В силу симметрии мы предполагаем, что жидкость течет радиально внутрь к источнику. Прочность стока определяется объемным расходом ${\displaystyle Q}$ жидкости, которую он впитывает.

Типы двумерных течений

Равномерный исходный поток

А радиально симметричный поле потока, направленное наружу из общей точки, называется исходным потоком. Центральная общая точка - это линейный источник, описанный выше. Жидкость подается с постоянной скоростью ${\displaystyle Q}$ из источника. По мере того, как жидкость выходит наружу, площадь потока увеличивается. В результате, чтобы удовлетворить уравнение неразрывности, скорость уменьшается и рационализирует разложить. Скорость во всех точках на заданном расстоянии от источника одинакова.

Рис 2 - Линии обтекаемости и потенциальные линии для источника потока

Скорость потока жидкости может быть задана как -

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}.}$

Мы можем вывести связь между скорость потока и скорость потока. Рассмотрим цилиндр единичной высоты, соосный с источником. Скорость, с которой источник выбрасывает жидкость, должна быть равна скорости, с которой жидкость вытекает из поверхности цилиндра.

${\displaystyle \int \limits _{S}{\bar {\boldsymbol {v}}}\cdot {d{\bar {\boldsymbol {S}}}}=2\pi rv_{r}(r)=Q,}$

${\displaystyle \therefore \;\;v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.}$

В функция потока связанный с исходным потоком -

${\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta .}$

В постоянный поток из точечного источника является безвихревым и может быть получен из потенциал скорости. Потенциал скорости определяется как -

${\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r.}$

Равномерное течение раковины

Сток в раковине противоположен исходному. Линии тока радиальные, направлены внутрь к источнику линии. По мере приближения к раковине площадь потока уменьшается. Чтобы удовлетворить уравнение неразрывности, то рационализирует собираются ближе, и скорость увеличивается по мере приближения к источнику. Как и в случае с истоком, скорость во всех точках, равноудаленных от стока, одинакова.

Рис 3 - Линии тока и потенциальные линии для стока воды

Скорость потока вокруг раковины может быть определена как:

${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=-v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r},}$

${\displaystyle v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.}$

В функция потока связанный со стоком -

${\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta .}$

Обтекание линейного стока является безвихревым и может быть получено из потенциала скорости. Потенциал скорости вокруг стока можно определить как

${\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r.}$

Безвихревой вихрь

А вихрь представляет собой область, в которой жидкость течет вокруг воображаемой оси. Для безвихревого вихря поток в каждой точке таков, что помещенная туда малая частица подвергается чистому воздействию. перевод и не вращается. В этом случае скорость изменяется обратно пропорционально радиусу. Скорость будет стремиться к ${\displaystyle \inf }$ в ${\displaystyle r=0}$ это причина того, что центр является особой точкой. Скорость математически выражается как -

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },}$

${\displaystyle v_{\theta }={\frac {K}{2\pi r}}.}$

Поскольку жидкость течет вокруг оси,

${\displaystyle v_{r}=0.}$

Функция потока для безвихревые вихри дан кем-то -

${\displaystyle \psi =-{\frac {K}{2\pi }}\ln r.}$

В то время как потенциал скорости выражается как -

${\displaystyle \phi =-{\frac {K}{2\pi }}\theta .}$

Для замкнутой кривой, охватывающей начало координат, циркуляция (линейный интеграл поля скорости) ${\displaystyle \Gamma =K}$ и для любых других замкнутых кривых ${\displaystyle \Gamma =0}$

Рис 4 - Линии тока и потенциальные линии для безвихревого вихря

Дублет

Дублет можно рассматривать как комбинацию источника и стока равной мощности, находящихся на бесконечно малом расстоянии друг от друга. Таким образом, можно увидеть, что линии тока начинаются и заканчиваются в одной и той же точке. Сила дублета, образованного источником и приемником силы. ${\displaystyle Q}$ держался на расстоянии ${\displaystyle ds}$ дан кем-то -

${\displaystyle \Lambda =Q{\frac {ds}{2\pi }}.}$

Скорость потока жидкости можно выразить как -

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{r}{\hat {\boldsymbol {e}}}_{r}+v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },}$

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\cos \theta ,}$

${\displaystyle v_{\theta }=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\sin \theta .}$

Рис 5 - Линии обтекания и потенциальные линии для дублета

Уравнения и график предназначены для предельного условия ${\displaystyle ds\rightarrow 0}$

Концепция дублета очень похожа на концепцию дублета. электрические диполи и магнитные диполи в электродинамика.

Рекомендации

• Kothandaraman, C.P .; Рудрамурти, Р. (2006), Гидромеханика и машинное оборудование (2-е изд.), New Age International, ISBN  978-1906574789

внешняя ссылка

• Двумерные источники и стоки