Двумерное сингулярное разложение - Two-dimensional singular-value decomposition

Двумерное сингулярное разложение (2DSVD) вычисляет приближение низкого ранга набора матриц, таких как 2D изображения или карты погоды в манере, почти идентичной SVD (сингулярное разложение ), который вычисляет низкоранговую аппроксимацию одной матрицы (или набора 1D векторы).

СВД

Пусть матрица ${displaystyle X = (x_ {1}, ldots, x_ {n})}$ содержит набор центрированных одномерных векторов. В PCA / SVD мы строим ковариационную матрицу ${displaystyle F}$ и матрица Грама ${displaystyle G}$

{displaystyle F = XX ^ {T}}

,

{displaystyle G = X ^ {T} X,}

и вычислить их собственные векторы ${displaystyle U = (u_ {1}, ldots, u_ {n})}$ и ${displaystyle V = (v_ {1}, ldots, v_ {n})}$ . С ${displaystyle VV ^ {T} = I, UU ^ {T} = I}$ , у нас есть

{displaystyle X = UU ^ {T} XVV ^ {T} = U (U ^ {T} XV) V ^ {T} = USigma V ^ {T}.}

Если мы сохраним только ${displaystyle K}$ главные собственные векторы в ${displaystyle U, V}$ , это дает низкоранговую аппроксимацию ${displaystyle X}$ .

2DSVD

Здесь мы имеем дело с набором 2D-матриц ${displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$ . Предположим, они центрированы. ${displaystyle sum _ {i} X_ {i} = 0}$ . Строим ковариационные матрицы строка – строка и столбец – столбец.

{displaystyle F = сумма _ {i} X_ {i} X_ {i} ^ {T}}

,

{displaystyle G = сумма _ {i} X_ {i} ^ {T} X_ {i}}

точно так же, как в SVD, и вычислить их собственные векторы ${displaystyle U}$ и ${displaystyle V}$ .Мы приблизительные ${displaystyle X_ {i}}$ в качестве

{displaystyle X_ {i} = UU ^ {T} X_ {i} VV ^ {T} = U (U ^ {T} X_ {i} V) V ^ {T} = UM_ {i} V ^ {T} }

таким же образом, как и в SVD. Это дает близкое к оптимальному низкоранговое приближение ${displaystyle (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$ с целевой функцией

{Displaystyle J = сумма _ {i} | X_ {i} -LM_ {i} R ^ {T} | ^ {2}}

Границы ошибок аналогичны Теорема Эккарда – Юнга тоже существуют.

2DSVD в основном используется в сжатие изображений и представительство.

Двумерное сингулярное разложение - Two-dimensional singular-value decomposition

СВД

2DSVD

Рекомендации