Ultralimit - Ultralimit

О прямом пределе последовательности сверхстепеней см. Ультрапродукт.

В математика, сверхграничный геометрическая конструкция, которая сопоставляет последовательность метрические пространства Икс_п предельное метрическое пространство. Понятие сверхпредела отражает предельное поведение конечных конфигураций в пространствах Икс_п и использует ультрафильтр чтобы избежать процесса многократного перехода к подпоследовательностям, чтобы обеспечить сходимость. Сверхлимит - это обобщение понятия Сходимость Громова – Хаусдорфа. метрических пространств.

Ультрафильтры

Напомним, что ультрафильтр ω на множестве натуральных чисел ℕ это набор непустых подмножеств ℕ (чью функцию включения можно рассматривать как меру), которая замкнута относительно конечного пересечения, замкнута вверх и которая для любого подмножества Икс из ℕ, содержит либо Икс или же ℕ ∖ Икс. Ультрафильтр ω на ℕ является неосновной если он не содержит конечного множества.

Предел последовательности точек относительно ультрафильтра

Позволять ω быть неглавным ультрафильтром на ${displaystyle mathbb {N} }$.Если ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }}$ последовательность точек в метрическое пространство (Икс,d) и Икс∈ Икс, смысл Икс называется ω -предел из Икс_п, обозначенный ${displaystyle x=lim _{omega }x_{n}}$, если для каждого ${displaystyle epsilon >0}$ у нас есть:

${displaystyle {n:d(x_{n},x)leq epsilon }in omega .}$

Нетрудно заметить следующее:

• Если ω -предел последовательности точек существует, он уникален.
• Если ${displaystyle x=lim _{n o infty }x_{n}}$ в стандартном понимании, ${displaystyle x=lim _{omega }x_{n}}$. (Для соблюдения этого свойства крайне важно, чтобы ультрафильтр был неглавным.)

Важный базовый факт^[1] утверждает, что если (Икс,d) компактно и ω неглавный ультрафильтр на ${displaystyle mathbb {N} }$, то ω-предел любой последовательности точек в Икс существует (и обязательно уникален).

В частности, любая ограниченная последовательность действительных чисел имеет хорошо определенную ω-предел в ${displaystyle mathbb {R} }$ (поскольку отрезки компактны).

Ультрапредел метрических пространств с указанными базовыми точками

Позволять ω быть неглавным ультрафильтром на ${displaystyle mathbb {N} }$. Позволять (Икс_п,d_п) - последовательность метрические пространства с указанными базовыми точками п_п∈Икс_п.

Скажем, что последовательность ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }}$, куда Икс_п∈Икс_п, является допустимый, если последовательность действительных чисел (d_п(Икс_п,п_п))_п ограничено, то есть если существует положительное действительное число C такой, что ${displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})leq C}$Обозначим множество всех допустимых последовательностей через ${displaystyle {mathcal {A}}}$.

Из неравенства треугольника легко видеть, что для любых двух допустимых последовательностей ${displaystyle mathbf {x} =(x_{n})_{nin mathbb {N} }}$ и ${displaystyle mathbf {y} =(y_{n})_{nin mathbb {N} }}$ последовательность (d_п(Икс_п,у_п))_п ограничен и, следовательно, существует ω-предел ${displaystyle {hat {d}}_{infty }(mathbf {x} ,mathbf {y} ):=lim _{omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$. Определим отношение ${displaystyle sim }$ на съемочной площадке ${displaystyle {mathcal {A}}}$ всех допустимых последовательностей следующим образом. За ${displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in {mathcal {A}}}$ у нас есть ${displaystyle mathbf {x} sim mathbf {y} }$ в любое время ${displaystyle {hat {d}}_{infty }(mathbf {x} ,mathbf {y} )=0.}$ Легко показать, что ${displaystyle sim }$ является отношение эквивалентности на ${displaystyle {mathcal {A}}.}$

В сверхграничный относительно ω последовательности (Икс_п,d_п, п_п) - метрическое пространство ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })}$ определяется следующим образом.^[2]

В комплекте у нас есть ${displaystyle X_{infty }={mathcal {A}}/{sim }}$ .

Для двух ${displaystyle sim }$-классы эквивалентности ${displaystyle [mathbf {x} ],[mathbf {y} ]}$ допустимых последовательностей ${displaystyle mathbf {x} =(x_{n})_{nin mathbb {N} }}$ и ${displaystyle mathbf {y} =(y_{n})_{nin mathbb {N} }}$ у нас есть ${displaystyle d_{infty }([mathbf {x} ],[mathbf {y} ]):={hat {d}}_{infty }(mathbf {x} ,mathbf {y} )=lim _{omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

Нетрудно увидеть, что ${displaystyle d_{infty }}$ хорошо определено и что это метрика на съемочной площадке ${displaystyle X_{infty }}$.

Обозначить ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ .

О базовых точках в случае равномерно ограниченных пространств

Предположим, что (Икс_п,d_п) представляет собой последовательность метрические пространства равномерно ограниченного диаметра, т.е. существует действительное число C> 0 такое, что diam (Икс_п)≤C для каждого ${displaystyle nin mathbb {N} }$. Тогда на любой выбор п_п базовых точек в Икс_п каждый последовательность ${displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}in X_{n}}$ допустимо. Следовательно, в этой ситуации выбор базовых точек не должен указываться при определении сверхпредела, а сверхпредел ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })}$ зависит только от (Икс_п,d_п) и дальше ω но не зависит от выбора последовательности базовых точек ${displaystyle p_{n}in X_{n}.}$. В этом случае пишут ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n})}$.

Основные свойства сверхлимитов

1. Если (Икс_п,d_п) находятся геодезические метрические пространства тогда ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ также является геодезическим метрическим пространством.^[1]
2. Если (Икс_п,d_п) находятся полные метрические пространства тогда ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ также является полным метрическим пространством.^[3][4]

На самом деле по построению предельное пространство всегда полно, даже когда (Икс_п,d_п) - это повторяющаяся последовательность пространства (Икс,d), что не является полным.^[5]

1. Если (Икс_п,d_п) - компактные метрические пространства, сходящиеся к компактному метрическому пространству (Икс,d) в Громов – Хаусдорф смысл (это автоматически означает, что пробелы (Икс_п,d_п) имеют равномерно ограниченный диаметр), то сверхпредел ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n})}$ изометрично (Икс,d).
2. Предположим, что (Икс_п,d_п) находятся собственные метрические пространства и это ${displaystyle p_{n}in X_{n}}$ - такие базовые точки, что отмеченная последовательность (Икс_п,d_п,п_п) сходится к собственному метрическому пространству (Икс,d) в Громов – Хаусдорф смысл. Тогда сверхлимит ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ изометрично (Икс,d).^[1]
3. Позволять κ≤0 и пусть (Икс_п,d_п) - последовательность КОТ(κ) -метрические пространства. Тогда сверхлимит ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ также является КОШКОЙ (κ)-Космос.^[1]
4. Позволять (Икс_п,d_п) - последовательность КОТ(κ_п) -метрические пространства куда ${displaystyle lim _{n o infty }kappa _{n}=-infty .}$ Тогда сверхлимит ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$ является настоящее дерево.^[1]

Асимптотические конусы

Важным классом сверхпределов являются так называемые асимптотические конусы метрических пространств. Позволять (Икс,d) - метрическое пространство, пусть ω быть неглавным ультрафильтром на ${displaystyle mathbb {N} }$ и разреши п_п ∈ Икс - последовательность базовых точек. Тогда ω–Ультрапредел последовательности ${displaystyle (X,{frac {d}{n}},p_{n})}$ называется асимптотическим конусом Икс относительно ω и ${displaystyle (p_{n})_{n},}$ и обозначается ${displaystyle Cone_{omega }(X,d,(p_{n})_{n}),}$. Часто считают, что последовательность базовых точек является постоянной, п_п = п для некоторых p ∈ X; в этом случае асимптотический конус не зависит от выбора p ∈ X и обозначается ${displaystyle Cone_{omega }(X,d),}$ или просто ${displaystyle Cone_{omega }(X),}$.

Понятие асимптотического конуса играет важную роль в геометрическая теория групп поскольку асимптотические конусы (точнее, их топологические типы и билипшицевы типы ) предоставлять квазиизометрия инварианты метрических пространств вообще и конечно порожденных групп в частности.^[6] Асимптотические конусы также оказываются полезным инструментом при изучении относительно гиперболические группы и их обобщения.^[7]

Примеры

1. Позволять (Икс,d) - компактное метрическое пространство и положим (Икс_п,d_п)=(Икс,d) для каждого ${displaystyle nin mathbb {N} }$. Тогда сверхлимит ${displaystyle (X_{infty },d_{infty })=lim _{omega }(X_{n},d_{n})}$ изометрично (Икс,d).
2. Позволять (Икс,d_Икс) и (Y,d_Y) - два различных компактных метрических пространства, и пусть (Икс_п,d_п) - последовательность метрических пространств такая, что для каждого п либо (Икс_п,d_п)=(Икс,d_Икс) или же (Икс_п,d_п)=(Y,d_Y). Позволять ${displaystyle A_{1}={n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})},}$ и ${displaystyle A_{2}={n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})},}$. Таким образом А₁, А₂ не пересекаются и ${displaystyle A_{1}cup A_{2}=mathbb {N} .}$ Поэтому один из А₁, А₂ имеет ω-мера 1, а другой ω-мера 0. Следовательно ${displaystyle lim _{omega }(X_{n},d_{n})}$ изометрично (Икс,d_Икс) если ω(А₁) = 1 и ${displaystyle lim _{omega }(X_{n},d_{n})}$ изометрично (Y,d_Y) если ω(А₂) = 1. Это показывает, что сверхлимит может зависеть от выбора ультрафильтра. ω.
3. Позволять (M,грамм) - связный компакт Риманово многообразие измерения м, куда грамм это Риманова метрика на M. Позволять d быть метрикой на M соответствующий грамм, так что (M,d) это геодезическое метрическое пространство. Выберите базовую точку п∈M. Тогда сверхлимит (и даже обыкновенный Предел Громова-Хаусдорфа ) ${displaystyle lim _{omega }(M,nd,p)}$ изометрично касательное пространство Т_пM из M в п с функцией расстояния на Т_пM предоставленный внутренний продукт г (п). Следовательно, сверхлимит ${displaystyle lim _{omega }(M,nd,p)}$ изометрично Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ со стандартом Евклидова метрика.^[8]
4. Позволять ${displaystyle (mathbb {R} ^{m},d)}$ быть стандартом м-размерный Евклидово пространство со стандартной евклидовой метрикой. Тогда асимптотический конус ${displaystyle Cone_{omega }(mathbb {R} ^{m},d)}$ изометрично ${displaystyle (mathbb {R} ^{m},d)}$.
5. Позволять ${displaystyle (mathbb {Z} ^{2},d)}$ быть двумерным целочисленная решетка где расстояние между двумя точками решетки задается длиной кратчайшего реберного пути между ними в сетке. Тогда асимптотический конус ${displaystyle Cone_{omega }(mathbb {Z} ^{2},d)}$ изометрично ${displaystyle (mathbb {R} ^{2},d_{1})}$ куда ${displaystyle d_{1},}$ это Метрика такси (или же L¹-метрический) на ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$.
6. Позволять (Икс,d) быть δ-гиперболический геодезическое метрическое пространство для некоторых δ≥0. Тогда асимптотический конус ${displaystyle Cone_{omega }(X),}$ это настоящее дерево.^[1][9]
7. Позволять (Икс,d) - метрическое пространство конечного диаметра. Тогда асимптотический конус ${displaystyle Cone_{omega }(X),}$ это одна точка.
8. Позволять (Икс,d) быть CAT (0) -метрическое пространство. Тогда асимптотический конус ${displaystyle Cone_{omega }(X),}$ также является CAT (0) -пространством.^[1]

Сноски

1. М. Капович Б. Лееб. Об асимптотических конусах и классах квазиизометрии фундаментальных групп трехмерных многообразий, Геометрический и функциональный анализ, Vol. 5 (1995), нет. 3. С. 582–603.
2. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество, 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2; Определение 7.19, с. 107.
3. Л. Ван ден Дрис, А. Дж. Вилки, О теореме Громова о группах полиномиального роста и элементарной логике. Журнал алгебры, Vol. 89 (1984), стр. 349–374.
4. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество, 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2; Предложение 7.20, с. 108.
5. Бридсон, Хефлигер "Метрические пространства неположительной кривизны" Лемма 5.53.
6. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество, 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2
7. Корнелия Другу и Марк Сапир (с Приложением автора Денис Осин и Марк Сапир), Древесные пространства и асимптотические конусы групп. Топология, Том 44 (2005), вып. 5. С. 959–1058.
8. Ю. Бураго, М. Громов, Г. Перельман. А.Д.Александров Пространства ограниченной снизу кривизны (на русском языке), Успехи математических наук, вып. 47 (1992), стр. 3–51; переведено на: Русская математика. Обзоры т. 47, нет. 2 (1992), стр. 1–58
9. Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество, 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2; Пример 7.30, с. 118.

Основные ссылки

• Джон Роу. Лекции по грубой геометрии. Американское математическое общество, 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2; Гл. 7.
• Л. Ван ден Дрис, А. Дж. Вилки, О теореме Громова о группах полиномиального роста и элементарной логике. Журнал алгебры, Vol. 89 (1984), стр. 349–374.
• М. Капович Б. Лееб. Об асимптотических конусах и классах квазиизометрии фундаментальных групп трехмерных многообразий, Геометрический и функциональный анализ, Vol. 5 (1995), нет. 3. С. 582–603.
• М. Капович. Гиперболические многообразия и дискретные группы. Биркхойзер, 2000. ISBN  978-0-8176-3904-4; Гл. 9.
• Корнелия Другу и Марк Сапир (с приложением Дениса Осина и Марка Сапира), Древесные пространства и асимптотические конусы групп. Топология, Том 44 (2005), вып. 5. С. 959–1058.
• М. Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств. Успехи в математике т. 152, Биркхойзер, 1999. ISBN  0-8176-3898-9; Гл. 3.
• Б. Кляйнер и Б. Лееб, Жесткость квазиизометрий для симметричных пространств и евклидовых построек. Публикации Mathématiques de L'IHÉS. Том 86, номер 1, декабрь 1997 г., стр. 115–197.

Смотрите также

• Ультрафильтр
• Геометрическая теория групп
• Сходимость Громова-Хаусдорфа