Равномерно распределенная мера - Uniformly distributed measure

В математика - в частности, в геометрическая теория меры - а равномерно распределенная мера на метрическое пространство тот, для которого мера открытый мяч зависит только от его радиуса, а не от его центра. По соглашению, мера также должна быть Борель регулярный, и принимать положительные и конечные значения на открытых шарах конечного радиуса. Таким образом, если (Икс, d) - метрическое пространство, регулярная борелевская мера μ на Икс как говорят равномерно распределены если

${displaystyle 0<mu (mathbf {B} _{r}(x))=mu (mathbf {B} _{r}(y))<+infty }$

по всем пунктам Икс и у из Икс и все 0 <р <+ ∞, где

${displaystyle mathbf {B} _{r}(x):={zin X|d(x,z)<r}.}$

Лемма кристенсена

Оказывается, равномерно распределенные меры - очень жесткие объекты. В любом «приличном» метрическом пространстве равномерно распределенные меры образуют однопараметрическое линейно зависимое семейство:

Позволять μ и ν - равномерно распределенные борелевские регулярные меры на отделяемый метрическое пространство (Икс, d). Тогда есть постоянная c такой, что μ = cν.

Рекомендации

• Кристенсен, Йенс Петер Реус (1970). «О некоторых мерах, аналогичных мере Хаара». Mathematica Scandinavica. 26: 103–106. ISSN  0025-5521. МИСТЕР0260979
• Маттила, Пертти (1995). Геометрия множеств и мер в евклидовых пространствах: фракталы и спрямляемость. Кембриджские исследования по высшей математике № 44. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. xii + 343. ISBN  0-521-46576-1. МИСТЕР1333890 (См. Главу 3)