Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах - Vector fields in cylindrical and spherical coordinates

Сферические координаты (р, θ, φ) как обычно используется в физика: радиальное расстояние р, полярный угол θ (тета ) и азимутальный угол φ (фи ). Символ ρ (ро ) часто используется вместо р.

Примечание. На этой странице используются общие физические обозначения для сферических координат, в которых ${\displaystyle \theta }$ угол между z ось и радиус-вектор, соединяющий начало координат с рассматриваемой точкой, а ${\displaystyle \phi }$ - угол между проекцией радиус-вектора на х-у самолет и Икс ось. Используются несколько других определений, поэтому необходимо соблюдать осторожность при сравнении различных источников.^[1]

Цилиндрическая система координат

Векторные поля

Векторы определены в цилиндрические координаты к (ρ, φ, z), куда

• ρ - длина вектора, проецируемого на ху-самолет,
• φ - угол между проекцией вектора на ху-самолет (т.е. ρ) и положительный Икс-ось (0 ≤ φ <2π),
• z регулярный z-координат.

(ρ, φ, z) дан в декартовы координаты к:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$

или наоборот:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix}}.}$

Любой векторное поле можно записать в терминах единичных векторов как:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

Цилиндрические единичные векторы связаны с декартовыми единичными векторами следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$

Примечание: матрица представляет собой ортогональная матрица, то есть его обратный это просто его транспонировать.

Производная по времени векторного поля

Чтобы узнать, как векторное поле A изменяется во времени, мы вычисляем производные по времени. Для этого используем Обозначение Ньютона для производной по времени (${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}}$В декартовых координатах это просто:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$

Однако в цилиндрических координатах это становится:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}}$

Нам нужны производные по времени единичных векторов. Их дают:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}}$

Таким образом, производная по времени упрощается до:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }})+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }})+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}}$

Вторая производная векторного поля по времени

Вторая производная по времени представляет интерес с точки зрения физика, как это найдено в уравнения движения за классическая механика Вторая производная по времени векторного поля в цилиндрических координатах определяется выражением:

${\displaystyle \mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} ({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}}$

Чтобы понять это выражение, подставим A = P, где p - вектор ( rho, θ, z).

Это означает, что ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}} }$.

После подстановки получаем:

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} ({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }})+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}}$

В механике термины этого выражения называются:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\rho }}\mathbf {\hat {\rho }} &={\mbox{central outward acceleration}}\\-\rho {\dot {\phi }}^{2}\mathbf {\hat {\rho }} &={\mbox{centripetal acceleration}}\\\rho {\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{angular acceleration}}\\2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\mbox{Coriolis effect}}\\{\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} &={\mbox{z-acceleration}}\end{aligned}}}$

Смотрите также: Центростремительная сила, Угловое ускорение, и Эффект Кориолиса

Сферическая система координат

Векторные поля

Векторы определены в сферические координаты к (р, θ, φ), где

• r - длина вектора,
• θ - угол между положительной осью Z и рассматриваемым вектором (0 ≤ θ ≤ π), и
• φ - угол между проекцией вектора на плоскость X-Y и положительной осью X (0 ≤ φ <2π).

(р, θ, φ) задается в Декартовы координаты к:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/r)\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,}$

или наоборот:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Любое векторное поле можно записать в терминах единичных векторов как:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$

Сферические единичные векторы связаны с декартовыми единичными векторами следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}$

Примечание: матрица представляет собой ортогональная матрица, то есть его обратное - это просто его транспонировать.

Таким образом, декартовы единичные векторы связаны со сферическими единичными векторами следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}}$

Производная по времени векторного поля

Чтобы узнать, как векторное поле A изменяется во времени, мы вычисляем производные по времени. В декартовых координатах это просто:

${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

Однако в сферических координатах это становится:

${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}$

Нам нужны производные по времени единичных векторов. Их дают:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}}$

Таким образом, производная по времени становится:

${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta )+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta )}$

Смотрите также

• Del в цилиндрических и сферических координатах для спецификации градиент, расхождение, завиток, и лапласианин в различных системах координат.

Рекомендации

1. Wolfram Mathworld, сферические координаты