Препятствие конечности стен - Walls finiteness obstruction - Wikipedia

В геометрическая топология, область в математике, препятствие на пути к конечно-доминируемому пространству Икс существование гомотопический эквивалент к конечному CW-комплекс это его Препятствие конечности стены w (X) который является элементом приведенного нулевого алгебраическая K-теория ${\displaystyle {\widetilde {K}}_{0}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$ интегрального групповое кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$. Назван в честь математика. К. Т. К. Уолл.

Работой Джон Милнор^[1] на конечно-доминируемых пространствах не теряется общность, позволяя Икс быть CW-комплексом. А конечное господство из Икс конечный CW-комплекс K вместе с картами ${\displaystyle r:K\to X}$ и ${\displaystyle i\colon X\to K}$ такой, что ${\displaystyle r\circ i\simeq 1_{X}}$. За счет конструкции Милнора можно расширить р к гомотопической эквивалентности ${\displaystyle {\bar {r}}\colon {\bar {K}}\to X}$ куда ${\displaystyle {\bar {K}}}$ CW-комплекс, полученный из K прикрепляя клетки, чтобы убить относительные гомотопические группы ${\displaystyle \pi _{n}(r)}$.

Космос ${\displaystyle {\bar {K}}}$ будет конечный если все относительные гомотопические группы конечно порождены. Уолл показал, что это будет так, если и только если его препятствие конечности исчезнет. Точнее, используя теорию покрывающих пространств и Теорема Гуревича можно идентифицировать ${\displaystyle \pi _{n}(r)}$ с ${\displaystyle H_{n}({\widetilde {X}},{\widetilde {K}})}$. Затем Уолл показал, что комплекс клеточной цепи ${\displaystyle C_{*}({\widetilde {X}})}$ цепно-гомотопически эквивалентен цепному комплексу ${\displaystyle A_{*}}$ конечного типа проективный ${\displaystyle \mathbb {Z} [\pi _{1}(X)]}$-модули, и что ${\displaystyle H_{n}({\widetilde {X}},{\widetilde {K}})\cong H_{n}(A_{*})}$ будут конечно порождены тогда и только тогда, когда эти модули стабильно свободный. Стабильно-свободные модули исчезают в приведенной K-теории. Это мотивирует определение

${\displaystyle w(X)=\sum _{i}(-1)^{i}[A_{i}]\in {\widetilde {K}}_{0}(\mathbb {Z} [\pi _{1}(X)])}$.

Смотрите также

• Алгебраическая K-теория
• Кручение белой головки

Рекомендации

1. Милнор, Джон (1959), «О пространствах, имеющих гомотопический тип CW-комплекса», Труды Американского математического общества, 90 (2): 272–280

• Варадараджан, Калатор (1989), Препятствие конечности К. Т. К. Уолла, Серия монографий и продвинутых текстов Канадского математического общества, Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., ISBN  978-0-471-62306-9, МИСТЕР  0989589.
• Ферри, Стив; Раники, Андрей (2001), "Обзор препятствия конечности Уолла", Обзоры по теории хирургии, Vol. 2, Анналы математических исследований, 149, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 63–79, arXiv:математика / 0008070, Bibcode:2000математика ...... 8070F, МИСТЕР  1818772.
• Розенберг, Джонатан (2005), "K-теория и геометрическая топология », в Фридлендер, Эрик М.; Грейсон, Дэниел Р. (ред.), Справочник по K-Теория (PDF), Берлин: Springer, стр. 577–610, Дои:10.1007/978-3-540-27855-9_12, ISBN  978-3-540-23019-9, МИСТЕР  2181830