Уравнения Вейнгартена - Weingarten equations

Уравнения Вейнгартена дают разложение производной единичного вектора нормали к поверхности через первые производные вектор положения этой поверхности. Эти формулы были установлены в 1861 году немецким математиком Юлиус Вайнгартен.^[1]

Утверждение в классической дифференциальной геометрии

Позволять S быть поверхностью в трехмерном Евклидово пространство который параметризуется вектором положения р(ты, v) поверхности. Позволять п = п(ты, v) - неподвижная точка на этой поверхности. потом

${\displaystyle \mathbf {r} _{u}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},\quad \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}$

два касательных вектора в точке п.

Позволять п быть единицей нормальный вектор и разреши (E, F, грамм) и (L, M, N) - коэффициенты при первый и вторые основные формы этой поверхности соответственно. Уравнение Вейнгартена дает первую производную единичного вектора нормали п в точке п в терминах касательных векторов р_ты и р_v:

${\displaystyle \mathbf {n} _{u}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}}$

${\displaystyle \mathbf {n} _{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}}$

В индексных обозначениях это можно компактно выразить как

${\displaystyle \partial _{a}\mathbf {n} =K_{a}^{~b}\mathbf {r} _{b}}$,

куда K_ab - компоненты тензора кривизны поверхности.

Примечания

1. Дж. Вайнгартен (1861 г.). "Ueber eine Klasse auf einander abwickelbarer Flächen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 59: 382–393.

Рекомендации

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнения Вайнгартена». MathWorld.
• Springer Энциклопедия математики, Деривационные формулы Вайнгартена
• Струик, Дирк Дж. (1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии, Dover Publications, стр. 108, ISBN  0-486-65609-8
• Эрвин Крейсциг, Дифференциальная геометрия, Dover Publications, 1991, ISBN  0-486-66721-9, раздел 45.