Скаляр Вейля - Weyl scalar

в Формализм Ньюмана – Пенроуза (НП) из общая теория относительности, Скаляры Вейля обратитесь к набору из пяти сложных скаляры ${displaystyle {Psi _{0},Psi _{1},Psi _{2},Psi _{3},Psi _{4}}}$ которые кодируют десять независимых компонентов Тензор Вейля четырехмерного пространство-время.

Определения

Учитывая сложную нулевую тетраду ${displaystyle {l^{a},n^{a},m^{a},{ar {m}}^{a}}}$ и с условием ${displaystyle {(-,+,+,+);l^{a}n_{a}=-1,,m^{a}{ar {m}}_{a}=1}}$, скаляры Вейля-НП определяются формулами^[1][2][3]

${displaystyle Psi _{0}:=C_{alpha eta gamma delta }l^{alpha }m^{eta }l^{gamma }m^{delta } ,}$

${displaystyle Psi _{1}:=C_{alpha eta gamma delta }l^{alpha }n^{eta }l^{gamma }m^{delta } ,}$

${displaystyle Psi _{2}:=C_{alpha eta gamma delta }l^{alpha }m^{eta }{ar {m}}^{gamma }n^{delta } ,}$

${displaystyle Psi _{3}:=C_{alpha eta gamma delta }l^{alpha }n^{eta }{ar {m}}^{gamma }n^{delta } ,}$

${displaystyle Psi _{4}:=C_{alpha eta gamma delta }n^{alpha }{ar {m}}^{eta }n^{gamma }{ar {m}}^{delta } .}$

Примечание: если принять соглашение ${displaystyle {(+,-,-,-);l^{a}n_{a}=1,,m^{a}{ar {m}}_{a}=-1}}$, определения ${displaystyle Psi _{i}}$ должны принимать противоположные значения;^[4][5][6][7] то есть, ${displaystyle Psi _{i}mapsto -Psi _{i}}$ после перехода подписи.

Альтернативные производные

Смотрите также: Уравнения поля Ньюмана – Пенроуза.

Согласно приведенным выше определениям, следует выяснить Тензоры Вейля перед вычислением скаляров Weyl-NP посредством сжатия с соответствующими тетрадными векторами. Однако этот метод не в полной мере отражает дух Формализм Ньюмана – Пенроуза. В качестве альтернативы можно сначала вычислить спиновые коэффициенты а затем используйте Полевые уравнения NP для получения пяти скаляров Weyl-NP^{[нужна цитата ]}

${displaystyle Psi _{0}=Dsigma -delta kappa -(ho +{ar {ho }})sigma -(3varepsilon -{ar {varepsilon }})sigma +( au -{ar {pi }}+{ar {alpha }}+3eta )kappa ,,}$

${displaystyle Psi _{1}=Deta -delta varepsilon -(alpha +pi )sigma -({ar {ho }}-{ar {varepsilon }})eta +(mu +gamma )kappa +({ar {alpha }}-{ar {pi }})varepsilon ,,}$

${displaystyle Psi _{2}={ar {delta }} au -Delta ho -(ho {ar {mu }}+sigma lambda )+({ar {eta }}-alpha -{ar { au }}) au +(gamma +{ar {gamma }})ho +u kappa -2Lambda ,,}$

${displaystyle Psi _{3}={ar {delta }}gamma -Delta alpha +(ho +varepsilon )u -( au +eta )lambda +({ar {gamma }}-{ar {mu }})alpha +({ar {eta }}-{ar { au }})gamma ,.}$

${displaystyle Psi _{4}=delta u -Delta lambda -(mu +{ar {mu }})lambda -(3gamma -{ar {gamma }})lambda +(3alpha +{ar {eta }}+pi -{ar { au }})u ,.}$

куда ${displaystyle Lambda }$ (используется для ${displaystyle Psi _{2}}$) относится к скаляру кривизны NP ${displaystyle Lambda :={frac {R}{24}}}$ которые можно вычислить непосредственно из метрики пространства-времени ${displaystyle g_{ab}}$.

Физическая интерпретация

Секереш (1965)^[8] дал интерпретацию различных скаляров Вейля на больших расстояниях:

${displaystyle Psi _{2}}$ «кулоновский» термин, представляющий гравитационный монополь источника;

${displaystyle Psi _{1}}$ & ${displaystyle Psi _{3}}$ - входящие и исходящие «продольные» радиационные условия;

${displaystyle Psi _{0}}$ & ${displaystyle Psi _{4}}$ - термины входящего и исходящего «поперечного» излучения.

Для общего асимптотически плоского пространства-времени, содержащего излучение (Петров Тип Я), ${displaystyle Psi _{1}}$ & ${displaystyle Psi _{3}}$ может быть преобразован в ноль соответствующим выбором нулевой тетрады. Таким образом, их можно рассматривать как калибровочные величины.

Особенно важным случаем является скаляр Вейля ${displaystyle Psi _{4}}$.Это может быть показано для описания исходящих гравитационное излучение (в асимптотически плоском пространстве-времени) как

${displaystyle Psi _{4}={frac {1}{2}}left({ddot {h}}_{{hat { heta }}{hat { heta }}}-{ddot {h}}_{{hat {phi }}{hat {phi }}}ight)+i{ddot {h}}_{{hat { heta }}{hat {phi }}}=-{ddot {h}}_{+}+i{ddot {h}}_{ imes } .}$

Здесь, ${displaystyle h_{+}}$ и ${displaystyle h_{ imes }}$ - это «положительная» и «перекрестная» поляризации гравитационного излучения, а двойные точки обозначают двойное дифференцирование по времени.^{[требуется разъяснение ]}

Однако есть определенные примеры, в которых приведенная выше интерпретация не работает.^[9] Это точные вакуумные решения Уравнения поля Эйнштейна с цилиндрической симметрией. Например, статический (бесконечно длинный) цилиндр может создавать гравитационное поле, которое имеет не только ожидаемую «кулоновскую» компоненту Вейля. ${displaystyle Psi _{2}}$, но и ненулевые "поперечные волны" -компоненты ${displaystyle Psi _{0}}$ и ${displaystyle Psi _{4}}$. Кроме того, чисто исходящий Волны Эйнштейна-Розена имеют ненулевую составляющую "приходящей поперечной волны" ${displaystyle Psi _{0}}$.

Смотрите также

• Скаляры Weyl-NP и Ricci-NP

Рекомендации

1. Джереми Брансом Гриффитс, Иржи Подольский. Точное пространство-время в общей теории относительности Эйнштейна. Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2009. Глава 2.
2. Валерий П. Фролов, Игорь Д Новиков. Физика черной дыры: основные концепции и новые разработки. Берлин: Springer, 1998. Приложение E.
3. Абхай Аштекар, Стивен Фэрхерст, Бадри Кришнан. Изолированные горизонты: гамильтонова эволюция и первый закон. Physical Review D, 2000 г., 62(10): 104025. Приложение B. gr-qc / 0005083
4. Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов. Журнал математической физики, 1962 г., 3(3): 566-768.
5. Эзра Т. Ньюман, Роджер Пенроуз. Errata: подход к гравитационному излучению методом спиновых коэффициентов. Журнал математической физики, 1963 г., 4(7): 998.
6. Субраманян Чандрасекар. Математическая теория черных дыр. Чикаго: Издательство Чикагского университета, 1983.
7. Питер О'Доннелл. Введение в 2-спиноры в общей теории относительности. Сингапур: World Scientific, 2003.
8. П. Секереш (1965). «Гравитационный компас». Журнал математической физики. 6 (9): 1387–1391. Bibcode:1965JMP ..... 6.1387S. Дои:10.1063/1.1704788..
9. Хофманн, Стефан; Нидерманн, Флориан; Шнайдер, Роберт (2013). «Интерпретация тензора Вейля». Phys. Rev. D88: 064047. arXiv:1308.0010. Bibcode:2013ПхРвД..88ф4047Н. Дои:10.1103 / PhysRevD.88.064047.