Пара Вильфа-Цайльбергера - Wilf–Zeilberger pair

Вматематика в частностикомбинаторика, аПара Вильфа-Цайльбергера, илиWZ пара, это парафункции которые можно использовать для сертификации определенных комбинаторныхидентичности. Пары WZ названы в честьГерберт С. Уилф иДорон Зейлбергер, и играют важную роль в оценке многихсуммы с привлечениембиномиальные коэффициенты, факториалы, и вообще любыегипергеометрический ряд. Аналог функции WZ можно использовать для нахождения эквивалентной и более простой суммы. Хотя найти пары WZ вручную в большинстве случаев непрактично, Алгоритм госпера обеспечивает надежный метод для поиска аналога функции WZ и может быть реализован впрограмма символьной манипуляции.

Определение

Двафункции F иг образуют пару WZ тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

${\displaystyle F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k),}$

${\displaystyle \lim _{M\to \pm \infty }G(n,M)=0.}$

Вместе эти условия гарантируют, что

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]=0}$

потому что функция г телескопы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[F(n+1,k)-F(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[G(n,k+1)-G(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }[G(n,M+1)-G(n,-M)]\\&{}=0-0\\&{}=0.\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n+1,k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k),}$

это

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k)=const.}$

Константа не зависит отп.Его значение можно найти, подставивп = п₀для конкретногоп₀.

ЕслиF иг образуют пару WZ, то они удовлетворяют соотношению

${\displaystyle G(n,k)=R(n,k)F(n,k-1),}$

где ${\displaystyle R(n,k)}$ является рациональной функцией п и k и называется Сертификат подтверждения WZ.

пример

Пару Вильфа-Цайльбергера можно использовать для проверки личности.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}={2n \choose n}.}$

Разделите удостоверение на его правую часть:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}}{2n \choose n}}=1.}$

Используйте подтверждающий сертификат

${\displaystyle R(n,k)={\frac {2k-1}{2n+1}}}$

чтобы убедиться, что левая часть не зависит отп,где

${\displaystyle {\begin{aligned}F(n,k)&={\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}}{2n \choose n}},\\G(n,k)&=R(n,k)F(n,k-1).\end{aligned}}}$

Сейчас же F иг образуют пару Вильфа – Цайльбергера.

Чтобы доказать, что константа в правой части тождества равна 1, подставимп = 0, например.

использованная литература

• Марко Петковсек; Герберт Уилф и Дорон Зейлбергер (1996). А = В. А.К. Петерс. ISBN  1-56881-063-6.
• Тефера, Акалу (2010), "Что такое ... пара Вильф-Цайльбергер?" (PDF), Уведомления AMS, 57 (4): 508–509.

внешние ссылки

• Алгоритм госпера дает метод создания пар WZ, если они существуют.
• Генерацияфункционологии предоставляет подробную информацию о методе сертификации личности WZ.