Неравенство Виртингерса для функций - Wirtingers inequality for functions - Wikipedia

По поводу других неравенств, названных в честь Виртингера, см. Неравенство Виртингера.

В математика, исторически Неравенство Виртингера для реальных функций был неравенство используется в Анализ Фурье. Он был назван в честь Вильгельм Виртингер. Он был использован в 1904 году, чтобы доказать изопериметрическое неравенство. Множество тесно связанных результатов сегодня известно как неравенство Виртингера.

Теорема

Первая версия

Позволять ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ быть периодическая функция периода 2π, который непрерывен и имеет непрерывную производную на всем протяжении р, и такой, что

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f(x)\,dx=0.}$

потом

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)\,dx\geq \int _{0}^{2\pi }f^{2}(x)\,dx}$

с равенством если и только если ж(Икс) = а грех (Икс) + б cos (Икс) для некоторых а и б (или эквивалентно ж(Икс) = c грех (Икс + d) для некоторых c и d).

Этот вариант неравенства Виртингера является одномерным Неравенство Пуанкаре, с оптимальной константой.

Вторая версия

Следующее родственное неравенство также называется неравенством Виртингера (Дим и Маккин 1985 ):

${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{a}|f|^{2}\leq a^{2}\int _{0}^{a}|f'|^{2}}$

в любое время ж это C¹ функция такая, что ж(0) = ж(а) = 0. В этой форме неравенство Виртингера рассматривается как одномерный вариант Неравенство Фридрихса.

Доказательство

Доказательства двух версий аналогичны. Вот доказательство первой версии неравенства. С Условия Дирихле встретились, мы можем написать

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n\geq 1}\left(a_{n}{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}}+b_{n}{\frac {\cos nx}{\sqrt {\pi }}}\right),}$

и более того а₀ = 0, поскольку интеграл от ж исчезает. К Личность Парсеваля,

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f^{2}(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}$

и

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})}$

а так как все слагаемые ≥ 0, мы получаем желаемое неравенство с равенством тогда и только тогда, когда а_п = б_п = 0 для всех п ≥ 2.

Рекомендации

• Дым, Н; Маккин, Х (1985), Ряды и интегралы Фурье, Академическая пресса, ISBN  978-0-12-226451-1
• Пол Дж. Нахин (2006) Сказочная формула доктора Эйлера, стр.183, Princeton University Press ISBN  0-691-11822-1

• Комков Вадим (1983) Формула потери устойчивости Эйлера и неравенство Виртингера. Междунар. J. Math. Эд. Sci. Tech. 14, вып. 6, 661–668.

В этой статье используется материал из неравенства Виртингера по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.