Индекс Виттена - Witten index

В квантовая теория поля и статистическая механика, то Индекс Виттена на обратная температура β определяется как модификация стандарта функция распределения:

${\displaystyle {\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]}$

Обратите внимание (-1)^F оператор, где F - фермион оператор числа. Это то, что отличает его от обычного функция распределения. Иногда его называют спектральная асимметрия.

В суперсимметричный теории, каждая ненулевая энергия собственное значение содержит равное количество бозонных и фермионных состояний. Из-за этого индекс Виттена не зависит от температуры и дает число бозонных вакуумные состояния минус количество состояний фермионного вакуума с нулевой энергией. В частности, если суперсимметрия самопроизвольно нарушается тогда нет основных состояний с нулевой энергией, и поэтому индекс Виттена равен нулю.

Индекс Виттена суперсимметричной сигма модель на многообразии задается эйлеровой характеристикой многообразия.^[1]

${\displaystyle {\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]=\sum _{p\in \mathbb {Z} }(-1)^{p}b_{p}=\chi (M)\ .}$

Это пример квазитопологической величины, которая зависит только от F-условия а не на D-условия в Лагранжиан. Более тонкий инвариант в двумерных теориях, построенный с использованием только правой части оператора числа фермионов вместе с двухпараметрическим семейством вариаций, - это эллиптический род.

Рекомендации

1. * Хори, Кентаро; Шелдон Кац; Альбрехт Клемм; Рахул Пандхарипанде; Ричард Томас; Джумрун Вафа; Рави Вакил; Эрик Заслоу (2003). Зеркальная симметрия. CIMM 1. ISBN  978-0-8218-2955-4. p191 (10,124)

• Эдвард Виттен Ограничения на нарушение суперсимметрии, Nucl. Phys. B202 (1982) 253-316