Йонеда продукт - Yoneda product

В алгебре Йонеда продукт (названный в честь Нобуо Йонеда ) это спаривание между Внешние группы из модули:

${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{n}(M,N)\otimes \operatorname {Ext} ^{m}(L,M)\to \operatorname {Ext} ^{n+m}(L,N)}$

индуцированный

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,M)\otimes \operatorname {Hom} (M,L)\to \operatorname {Hom} (N,L),\,f\otimes g\mapsto g\circ f.}$

В частности, для элемента ${\displaystyle \xi \in \operatorname {Ext} ^{n}(M,N)}$, считается расширением

${\displaystyle \xi :0\rightarrow N\rightarrow E_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow E_{n-1}\rightarrow M\rightarrow 0}$,

и аналогично

${\displaystyle \rho :0\rightarrow M\rightarrow F_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{m-1}\rightarrow L\rightarrow 0\in \operatorname {Ext} ^{m}(L,M)}$,

формируем изделие Йонеда (чашка)

${\displaystyle \xi \smile \rho :0\rightarrow N\rightarrow E_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow E_{n-1}\rightarrow F_{0}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{m-1}\rightarrow L\rightarrow 0\in \operatorname {Ext} ^{m+n}(L,N)}$.

Обратите внимание, что средняя карта ${\displaystyle E_{n-1}\rightarrow F_{0}}$ факторов через данные карты к ${\displaystyle M}$.

Мы расширяем это определение, чтобы включить ${\displaystyle m,n=0}$ используя обычный функториальность из ${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{*}(\_,\_)}$ группы.

Приложения

Ext Algebras

Учитывая коммутативное кольцо ${\displaystyle R}$ и модуль ${\displaystyle M}$, продукт Yoneda определяет структуру продукта по группам ${\displaystyle {\text{Ext}}^{\bullet }(M,M)}$, куда ${\displaystyle {\text{Ext}}^{0}(M,M)={\text{Hom}}_{R}(M,M)}$ - вообще некоммутативное кольцо. Это можно обобщить на случай пучков модулей над окольцованное пространство, или окольцованные топосы.

Двойственность Гротендика

В теории двойственности когерентных пучков Гротендика на проективной схеме ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}}$ чистого измерения ${\displaystyle r}$ над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle k}$, есть пара

${\displaystyle {\text{Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{p}({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {F}})\times {\text{Ext}}_{{\mathcal {O}}_{X}}^{r-p}({\mathcal {F}},\omega _{X}^{\bullet })\to k}$

куда ${\displaystyle \omega _{X}}$ дуализирующий комплекс ${\displaystyle \omega _{X}={\mathcal {Ext}}_{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} }}^{n-r}(i_{*}{\mathcal {F}},\omega _{\mathbb {P} })}$ и ${\displaystyle \omega _{\mathbb {P} }={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} }(-(n+1))}$ дано парой Йонеда^[1].

Теория деформации

Продукт Yoneda полезен для понимания препятствий на пути деформация карт из кольчатые топои^[2]. Например, учитывая состав топоев кольчатых

${\displaystyle X\xrightarrow {f} Y\to S}$

и ${\displaystyle S}$-расширение ${\displaystyle j:Y\to Y'}$ из ${\displaystyle Y}$ по ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-модуль ${\displaystyle J}$, есть класс препятствия

${\displaystyle \omega (f,j)\in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/Y},f^{*}J)}$

который можно описать как продукт йонеда

${\displaystyle \omega (f,j)=f^{*}(e(j))\cdot K(X/Y/S)}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}K(X/Y/S)&\in {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/Y},\mathbf {L} _{Y/S})\\f^{*}(e(j))&\in {\text{Ext}}^{1}(f^{*}\mathbf {L} _{Y/S},f^{*}J)\end{aligned}}}$

и ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$ соответствует котангенс комплекс.

Смотрите также

• Функтор Ext
• Производная категория
• Теория деформации
• Карта Кодаира – Спенсер

Рекомендации

1. Альтман; Клейман. Двойственность Гротендика. п. 5.
2. Illusie, Люк. «Котангенс комплекса; приложение в духе теории деформаций» (PDF). п. 163.

• Мэй, Дж. Питер. «Заметки о Tor и Ext» (PDF).

внешняя ссылка

• Универсальность функтора Ext с использованием расширений Yoneda