Параметризация Юлы – Кучеры - Youla–Kucera parametrization

В теория управления то Параметризация Юлы – Кучера (также известный как Юла параметризация) представляет собой формулу, которая описывает все возможные стабилизирующие регуляторы с обратной связью для данного объекта P как функцию одного параметра Q.

Подробности

Параметризация YK - общий результат. Это фундаментальный результат теории управления, который положил начало совершенно новой области исследований и нашел применение, в частности, в оптимальном и надежном управлении.^[1]

Для простоты понимания и, как полагает Кучера, его лучше всего описать для трех все более общих видов растений.

Стабильный завод SISO

Позволять ${\displaystyle P(s)}$ быть передаточной функцией стабильного Система с одним входом и одним выходом (SISO) система. Далее, пусть ${\displaystyle \Omega }$ быть набором устойчивых и собственных функций ${\displaystyle s}$. Затем набор всех необходимых стабилизирующих контроллеров для установки ${\displaystyle P(s)}$ можно определить как

${\displaystyle \left\{{\frac {Q(s)}{1-P(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}}$,

куда ${\displaystyle Q(s)}$ - произвольная собственная и стабильная функция s. Можно сказать, что ${\displaystyle Q(s)}$ параметризует все стабилизирующие регуляторы для установки ${\displaystyle P(s)}$.

Завод General SISO

Рассмотрим обычную установку с передаточной функцией ${\displaystyle P(s)}$. Кроме того, передаточная функция может быть разложена на множители как

${\displaystyle P(s)={\frac {N(s)}{M(s)}}}$, где M (s), N (s) - устойчивые и собственные функции s.

Теперь решите Личность Безу формы

${\displaystyle \mathbf {N(s)Y(s)} +\mathbf {M(s)X(s)} =\mathbf {1} }$,

где искомые переменные (X (s), Y (s)) также должны быть правильными и стабильными.

После того, как были найдены правильные и стабильные X, Y, мы можем определить один стабилизирующий регулятор, который имеет вид ${\displaystyle C(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}}$. После того, как у нас будет под рукой один стабилизирующий контроллер, мы можем определить все стабилизирующие контроллеры, используя параметр Q (s), который является правильным и стабильным. Набор всех стабилизирующих регуляторов определяется как

${\displaystyle \left\{{\frac {Y(s)+M(s)Q(s)}{X(s)-N(s)Q(s)}},Q(s)\in \Omega \right\}}$,

Завод General MIMO

В системе с несколькими входами и множеством выходов (MIMO) рассмотрите матрицу передачи ${\displaystyle \mathbf {P(s)} }$. Его можно факторизовать, используя правильные взаимно простые множители ${\displaystyle \mathbf {P(s)=N(s)D^{-1}(s)} }$ или левые факторы ${\displaystyle \mathbf {P(s)={\tilde {D}}^{-1}(s){\tilde {N}}(s)} }$. Факторы должны быть правильными, стабильными и дважды взаимно простыми, что гарантирует, что система п(s) является контролируемым и наблюдаемым. Это можно записать тождеством Безу вида

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\mathbf {X} &\mathbf {Y} \\-\mathbf {\tilde {N}} &{\mathbf {\tilde {D}} }\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\mathbf {D} &-\mathbf {\tilde {Y}} \\\mathbf {N} &{\mathbf {\tilde {X}} }\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\mathbf {I} &0\\0&\mathbf {I} \\\end{matrix}}\right]}$.

После нахождения ${\displaystyle \mathbf {X,Y,{\tilde {X}},{\tilde {Y}}} }$ которые являются стабильными и правильными, мы можем определить множество всех стабилизирующих контроллеров К (с) используя левый или правый коэффициент, при условии отрицательной обратной связи.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {K(s)} ={{\left(\mathbf {X} -\mathbf {\Delta {\tilde {N}}} \right)}^{-1}}\left(\mathbf {Y} +\mathbf {\Delta {\tilde {D}}} \right)\\&=\left(\mathbf {\tilde {Y}} +\mathbf {D\Delta } \right){{\left(\mathbf {\tilde {X}} -\mathbf {N\Delta } \right)}^{-1}}\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \Delta }$ - произвольный устойчивый и собственный параметр.

Позволять ${\displaystyle P(s)}$ - передаточная функция объекта, и пусть ${\displaystyle K_{0}(s)}$ быть стабилизирующим контроллером. Пусть их правые взаимно простые факторизации:

${\displaystyle \mathbf {P(s)} =\mathbf {N} \mathbf {M} ^{-1}}$

${\displaystyle \mathbf {K_{0}(s)} =\mathbf {U} \mathbf {V} ^{-1}}$

тогда все стабилизирующие регуляторы можно записать как

${\displaystyle \mathbf {K(s)} =(\mathbf {U} +\mathbf {M} \mathbf {Q} )(\mathbf {V} +\mathbf {N} \mathbf {Q} )^{-1}}$

где Q стабильно и правильно.^[2]

Инженерное значение формулы YK состоит в том, что если кто-то хочет найти стабилизирующий регулятор, который отвечает некоторому дополнительному критерию, можно настроить Q так, чтобы желаемый критерий соблюдался.

Рекомендации

1. В. Кучера. Методика обучения параметризации всех стабилизирующих контроллеров. 18-й Всемирный Конгресс МФБ. Италия, Милан, 2011 г.[1]
2. Селье: Конспект лекций по численным методам управления, гл. 24

• Д. К. Юла, Х. А. Джабри, Дж. Дж. Бонджорно: Современный дизайн оптимальных контроллеров Винера-Хопфа: часть II, IEEE Trans. Автомат. Contr., AC-21 (1976), стр. 319–338
• В. Кучера: Устойчивость дискретных систем линейной обратной связи. В: Материалы 6-го заседания МФБ. Всемирный конгресс, Бостон, Массачусетс, США (1975 г.).
• C. A. Desoer, R.-W. Лю, Дж. Мюррей, Р. Секс. Дизайн системы обратной связи: подход дробного представления к анализу и синтезу. IEEE Trans. Автомат. Contr., AC-25 (3), (1980) pp399–412
• Джон Дойл, Брюс Фрэнсис, Аллен Танненбаум. Теория управления с обратной связью. (1990). [2]