Неравенство Юнга для интегральных операторов - Youngs inequality for integral operators - Wikipedia

В математический анализ, то Неравенство Юнга для интегральных операторов, является ограничением ${\displaystyle L^{p}\to L^{q}}$ норма оператора из интегральный оператор с точки зрения ${\displaystyle L^{r}}$ норм самого ядра.

Заявление

Предположить, что ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ измеримые пространства, ${\displaystyle K:X\times Y\to \mathbb {R} }$ измеримо и ${\displaystyle q,p,r\geq 1}$ такие, что ${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{r}}-1}$. Если

${\displaystyle \int _{Y}|K(x,y)|^{r}\,\mathrm {d} y\leq C^{r}}$ для всех ${\displaystyle x\in X}$

и

${\displaystyle \int _{X}|K(x,y)|^{r}\,\mathrm {d} x\leq C^{r}}$ для всех ${\displaystyle y\in Y}$

тогда ^[1]

${\displaystyle \int _{X}\left|\int _{Y}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y\right|^{q}\,\mathrm {d} x\leq C^{q}\left(\int _{Y}|f(y)|^{p}\,\mathrm {d} y\right)^{\frac {q}{p}}.}$

Частные случаи

Ядро свертки

Если ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ^{d}}$ и ${\displaystyle K(x,y)=h(x-y)}$, то неравенство принимает вид Неравенство свертки Юнга.

Смотрите также

Неравенство Юнга для продуктов

Примечания

1. Теорема 0.3.1 в: К. Д. Согге, Интеграл Фурье в классическом анализе, Издательство Кембриджского университета, 1993. ISBN  0-521-43464-5