Теорема Лось – Тарского о сохранении - Łoś–Tarski preservation theorem

В Теорема Лось – Тарского это теорема в теория моделей, филиал математика, который утверждает, что набор формул, сохраняющийся при взятии подструктур, в точности совпадает с набором универсальный формулы (Hodges 1997). Теорема была открыта Ежи Лось и Альфред Тарский.

Заявление

Позволять ${\displaystyle T}$ быть теорией на языке первого порядка ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle \Phi ({\bar {x}})}$ набор формул ${\displaystyle L}$. (Набор последовательностей переменных ${\displaystyle {\bar {x}}}$ не обязательно быть бесконечным.) Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1. Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ модели ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle A\subseteq B}$, ${\displaystyle {\bar {a}}}$ представляет собой последовательность элементов ${\displaystyle A}$. Если ${\displaystyle B\models \bigwedge \Phi ({\bar {a}})}$, тогда ${\displaystyle A\models \bigwedge \Phi ({\bar {a}})}$.
   (${\displaystyle \Phi }$ сохраняется в подструктурах для моделей ${\displaystyle T}$)
2. ${\displaystyle \Phi }$ эквивалентно по модулю ${\displaystyle T}$ к набору ${\displaystyle \Psi ({\bar {x}})}$ из ${\displaystyle \forall _{1}}$ формулы ${\displaystyle L}$.

Формула ${\displaystyle \forall _{1}}$ тогда и только тогда, когда он имеет форму ${\displaystyle \forall {\bar {x}}[\psi ({\bar {x}})]}$ куда ${\displaystyle \psi ({\bar {x}})}$ не содержит кванторов.

Обратите внимание, что это свойство не подходит для конечные модели.

Рекомендации

• Питер Г. Хинман (2005), Основы математической логики, А. К. Питерс, ISBN  1568812620.
• Ходжес (1997), Более короткая модельная теория, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0521587131.