Теория моделей - Model theory

Эта статья о математической дисциплине. Неформальные понятия в других частях математики и естествознания см. Математическая модель.

В математика, теория моделей это исследование взаимосвязи между формальные теории (собрание фразы в формальный язык высказывание заявлений о математическая структура ), и их модели, взятые как интерпретации которые удовлетворяют предложениям этой теории.^[1]

Неформальное описание

Теория моделей признает двойственность и тесно связана с ней: она исследует семантический элементы (смысл и истина) посредством синтаксический элементы (формулы и доказательства) соответствующего языка. В кратком определении, датируемом 1973 годом:

теория моделей = универсальная алгебра + логика.^[2]

Теория моделей быстро развивалась в течение 1990-х годов, и более современное определение дает Уилфрид Ходжес (1997):

теория моделей = алгебраическая геометрия − поля.

Это умный слоган, подразумевающий, что есть много общего: так, например, алгебраическое многообразие неформально можно описать как геометрическое место точек, где набор многочленов равен нулю. Точно так же модель можно описать как локус интерпретаций, в котором набор предложений истинен. Есть и другие аналогии, доходящие до разной глубины.

Другой часто повторяющийся слоган гласит: "если теория доказательств о сакральном, тогда модельная теория о профанном "^[3], указывая на то, что эти две темы в некотором смысле двойственны друг другу. Так же, как теория доказательств, теория моделей находится в области междисциплинарность среди математика, философия, и Информатика. Теория моделей используется в различных условиях, как академических, так и промышленных. К ним относятся:

• Доказательство результатов на системы аксиом. Например, доказательство того, что гипотеза континуума не зависит от других аксиом Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC) осуществляется путем построения внутри ZFC модели ZFC, в которой гипотеза континуума верна, и другой модели, в которой она неверна (см. Гипотеза континуума § Независимость от ZFC ).
• Создание основы для выполнимость по модулю теорий решатели, которые обычно используются для функциональная проверка в автоматизация проектирования электроники. Такие решатели ищут предложения, которые являются выполнимыми, вплоть до эквивалентных утверждений в какой-то конкретной теории, такой как теория равенства или теория линейная алгебра.
• Создание основы для реляционные модели, которые представляют собой фрагмент, состоящий из структуры чей подписи полностью состоит из связи. Хорошо известные результаты включают то, что SQL и noSQL категориальные дуалы друг другу.

Самой известной профессиональной организацией в области теории моделей является Ассоциация символической логики.

ветви

Эта страница посвящена финишный первый заказ модельная теория бесконечных структур. Теория конечных моделей, который концентрируется на конечных структурах, существенно отличается от изучения бесконечных структур как в изучаемых проблемах, так и в используемых методах. Теория моделей в логика высшего порядка или же инфинитарная логика сдерживается тем, что полнота и компактность в общем, не придерживаются этой логики. Однако в области такой логики также было проведено много исследований.

Неформально теорию моделей можно разделить на классическую теорию моделей, теорию моделей, применяемую к группам и полям, и теорию геометрических моделей. Отсутствует подразделение теория вычислимых моделей, но это можно рассматривать как независимое подполе логики.

Примеры ранних теорем классической теории моделей включают: Теорема Гёделя о полноте, вверх и вниз Теоремы Левенхайма – Сколема, Vaught двухкардинальная теорема, Скотт по теореме об изоморфизме теорема об исключении типов, а Теорема Рылля-Нардзевского. Примеры первых результатов теории моделей применительно к полям: Тарский с устранение кванторов за настоящие закрытые поля, Топор теорема о псевдоконечные поля, и Робинсон развитие нестандартный анализ. Важный шаг в развитии классической теории моделей произошел с рождением теория устойчивости (через Теорема морли о бесчисленных категоричных теориях и Шела классификационная программа), который разработал исчисление независимости и ранжирования на основе синтаксических условий, которым удовлетворяют теории.

В течение последних нескольких десятилетий теория прикладных моделей неоднократно сливалась с более чистой теорией устойчивости. Результат этого синтеза в данной статье называется теорией геометрической модели (которая, как предполагается, включает, например, о-минимальность, а также классическую геометрическую теорию устойчивости). Пример доказательства из теории геометрической модели: Грушовский доказательство Гипотеза Морделла – Лэнга для функциональных полей. Задача теории геометрических моделей - обеспечить география математики приступив к детальному изучению определимых множеств в различных математических структурах, опираясь на существенные инструменты, разработанные при изучении чистой теории моделей.

Теория конечных моделей

Основная статья: Теория конечных моделей

Теория конечных моделей (FMT) - это часть теории моделей (MT), которая имеет дело с ее ограничением интерпретациями конечных структур, которые имеют конечную вселенную.

Поскольку многие центральные теоремы теории моделей не выполняются, когда они ограничиваются конечными структурами, FMT сильно отличается от MT своими методами доказательства. Центральные результаты классической теории моделей, которые не подходят для конечных структур при FMT, включают теорема компактности, Теорема Гёделя о полноте, а метод сверхпродукты за логика первого порядка.

Основные области применения FMT: описательная теория сложности, теория баз данных и формальная теория языка.

Логика первого порядка

Основная статья: Логика первого порядка

В то время как универсальная алгебра предоставляет семантика для подпись, логика предоставляет синтаксис. С условиями, идентичностями и квази-тождества даже универсальная алгебра имеет некоторые ограниченные синтаксические инструменты; Логика первого порядка является результатом явной количественной оценки и добавления отрицания в картину.

Первого порядка формула построен из атомарные формулы Такие как р(ж(Икс,у),z) или же у = Икс + 1 с помощью Булевы связки ${displaystyle eg ,land ,lor ,ightarrow }$ и префикс кванторов ${displaystyle forall v}$ или же ${displaystyle exists v}$. Предложение - это формула, в которой каждое вхождение переменной входит в область действия соответствующего квантификатора. Примерами формул являются φ (или φ (x), чтобы отметить тот факт, что не более x является несвязанной переменной в φ) и ψ, определяемые следующим образом:

${displaystyle {varphi ;=;forall uforall v(exists w(x imes w=u imes v)ightarrow (exists w(x imes w=u)lor exists w(x imes w=v)))land xeq 0land xeq 1,}}$

${displaystyle psi ;=;forall uforall v((u imes v=x)ightarrow (u=x)lor (v=x))land xeq 0land xeq 1.}$

(Обратите внимание, что символ равенства здесь имеет двоякое значение.) Интуитивно понятно, как перевести такие формулы в математический смысл. В σ_smr-структура ${displaystyle {mathcal {N}}}$ натуральных чисел, например, элемент п удовлетворяет формула φ тогда и только тогда, когда п простое число. Формула ψ аналогично определяет неприводимость. Тарский дал строгое определение, иногда называемое "Определение истины Тарским", для отношения удовлетворения ${displaystyle models }$, так что легко доказать:

${displaystyle {mathcal {N}}models varphi (n)iff n}$ простое число.

${displaystyle {mathcal {N}}models psi (n)iff n}$ неприводимо.

Множество Т предложений называется (первого порядка) теория. Теория удовлетворительный если у него есть модель ${displaystyle {mathcal {M}}models T}$, то есть структура (соответствующей сигнатуры), которая удовлетворяет всем предложениям в наборе Т. Последовательность теории обычно определяется синтаксически, но в логике первого порядка теорема полноты нет необходимости различать выполнимость и последовательность. Поэтому теоретики моделей часто используют «согласованный» как синоним слова «выполнимый».

Теория называется категоричный если оно определяет структуру с точностью до изоморфизма, но оказывается, что это определение бесполезно из-за серьезных ограничений в выразительности логики первого порядка. В Теорема Лёвенгейма – Сколема означает, что для каждой теории Т имеющий счетную подпись^[4] который имеет бесконечную модель для некоторого бесконечного количественное числительное, то у него есть модель размера κ для любого бесконечного количественное числительное κ. Поскольку две модели разных размеров не могут быть изоморфными, категориальная теория может описывать только финитарные структуры.

Отсутствие выразительности (по сравнению с более высокой логикой, такой как логика второго порядка ), однако, имеет свои преимущества. Для теоретиков моделей теорема Левенхайма – Сколема является важным практическим инструментом, а не источником Парадокс Сколема. В определенном смысле уточненный Теорема Линдстрема, логика первого порядка является наиболее выразительной логикой, для которой справедливы как теорема Левенгейма – Сколема, так и теорема компактности.

Как следствие (т. Е. Его противоположность), теорема компактности говорит, что каждая неудовлетворительная теория первого порядка имеет конечное невыполнимое подмножество. Эта теорема имеет центральное значение в теории бесконечных моделей, где слова «компактностью» являются обычным явлением. Один из способов доказать это с помощью сверхпродукты. Альтернативное доказательство использует теорему о полноте, которая в противном случае сводится к второстепенной роли в большей части современной теории моделей.

Аксиоматизируемость, устранение кванторов и полнота модели

Первый шаг, часто тривиальный, для применения методов теории моделей к классу математических объектов, таких как группы или деревья в смысле теории графов, - это выбрать сигнатуру σ и представить объекты как σ-структуры. Следующий шаг - показать, что класс начальный класс, т.е. аксиоматизируемые в логике первого порядка (т.е. существует теория Т такая, что σ-структура находится в классе тогда и только тогда, когда она удовлетворяет Т ). Например. этот шаг не выполняется для деревьев, поскольку связность не может быть выражена в логике первого порядка. Аксиоматизируемость гарантирует, что теория моделей может говорить о правильных объектах. Исключение квантора можно рассматривать как условие, гарантирующее, что теория моделей не слишком много говорит об объектах.

Теория Т имеет исключение квантора если всякая формула первого порядка φ (Икс₁, ..., Икс_п) над своей подписью эквивалентно по модулю Т к формуле первого порядка ψ (Икс₁, ..., Икс_п) без кванторов, т.е. ${displaystyle forall x_{1}dots forall x_{n}(phi (x_{1},dots ,x_{n})leftrightarrow psi (x_{1},dots ,x_{n}))}$ держится во всех моделях Т. Например, теория алгебраически замкнутых полей в сигнатуре σ_{звенеть} = (×, +, -, 0,1) имеет исключение квантора, потому что каждая формула эквивалентна булевой комбинации уравнений между многочленами.

А основание σ-структуры - это подмножество ее области, замкнутое относительно всех функций в ее сигнатуре σ, которая рассматривается как σ-структура, ограничивая все функции и отношения в σ на подмножество. An встраивание σ-структуры ${displaystyle {mathcal {A}}}$ в другую σ-структуру ${displaystyle {mathcal {B}}}$ это карта ж: А → B между областями, которые можно записать как изоморфизм ${displaystyle {mathcal {A}}}$ с подструктурой ${displaystyle {mathcal {B}}}$. Каждое вложение - это инъективный гомоморфизм, но обратное верно, только если сигнатура не содержит символов отношения.

Если теория не имеет исключения кванторов, можно добавить дополнительные символы к ее сигнатуре, чтобы это произошло. Ранняя теория моделей потратила много усилий на доказательство аксиоматизируемости и результатов исключения кванторов для конкретных теорий, особенно в алгебре. Но часто вместо исключения квантора достаточно более слабого свойства:

Теория Т называется модель-полная если каждая подструктура модели Т который сам по себе является моделью Т является элементарной подструктурой. Существует полезный критерий для проверки того, является ли подструктура элементарной подструктурой, который называется Тест Тарского – Воота. Из этого критерия следует, что теория Т является модельно-полной тогда и только тогда, когда каждая формула первого порядка φ (Икс₁, ..., Икс_п) над своей подписью эквивалентно по модулю Т к экзистенциальной формуле первого порядка, то есть формуле следующего вида:

${displaystyle exists v_{1}dots exists v_{m}psi (x_{1},dots ,x_{n},v_{1},dots ,v_{m})}$,

где ψ бескванторная. Теория, которая не является законченной на модели, может иметь или не иметь завершение модели, которая является связанной модельно-полной теорией, которая, как правило, не является расширением исходной теории. Более общее понятие - это понятие модели товарищей.

Категоричность

Как указано в разделе, посвященном логика первого порядка теории первого порядка не могут быть категоричными, т.е.они не могут описывать единственную модель с точностью до изоморфизма, если эта модель не конечна. Но две известные теоретико-модельные теоремы имеют дело с более слабым понятием κ-категоричности для кардинал κ. Теория Т называется κ-категоричный если любые две модели Т мощности κ изоморфны. Оказывается, вопрос о κ-категоричности критически зависит от того, превышает ли κ мощность языка (т. Е. ${displaystyle aleph _{0}}$ + | σ |, где | σ | - мощность подписи). Для конечных или счетных подписей это означает, что существует фундаментальная разница между ${displaystyle aleph _{0}}$-мощность и κ-мощность для несчетного κ.

Немного характеристики ${displaystyle aleph _{0}}$-категория включают:

Для полной теории первого порядка Т в конечной или счетной сигнатуре следующие условия эквивалентны:

1. Т является ${displaystyle aleph _{0}}$-категория.
2. Для каждого натурального числа п, то Каменное пространство S_п(Т) конечно.
3. Для каждого натурального числа п, количество формул φ (Икс₁, ..., Икс_п) в п свободные переменные, с точностью до эквивалентности по модулю Т, конечно.

Этот результат независимо от Engeler, Рылль-Нардзевски и Свенониус, иногда называют Рылль-Нардзевски теорема.

Дальше, ${displaystyle aleph _{0}}$-категориальные теории и их счетные модели имеют тесную связь с олигоморфные группы. Их часто строят как Пределы Fraïssé.

Майкл Морли весьма нетривиальный результат, что (для счетных языков) существует только один Понятие бесчисленной категоричности было отправной точкой для современной теории моделей, в частности теории классификации и теории устойчивости:

Теорема Морли о категоричности

Если теория первого порядка Т в конечной или счетной сигнатуре является κ-категоричной для некоторого несчетного кардинала κ, то Т является κ-категоричным для всех несчетных кардиналов κ.

Бесчисленно категоричный (т. е. κ-категоричны для всех несчетных кардиналов κ) теории со многих точек зрения являются наиболее приемлемыми. Теория, которая одновременно ${displaystyle aleph _{0}}$-категоричным и бесчисленно категоричным называется абсолютно категоричный.

Теория множеств

Теория множеств (что выражается в счетный язык), если он непротиворечив, имеет счетную модель; это известно как Парадокс Сколема, поскольку в теории множеств есть предложения, которые постулируют существование бесчисленных множеств, и все же эти предложения верны в нашей счетной модели. В частности, доказательство независимости гипотеза континуума требует рассмотрения наборов в моделях, которые кажутся бесчисленными, если смотреть со стороны в модель, но кому-то счет за пределами модель.

Теоретико-модельная точка зрения была полезна в теория множеств; например в Курт Гёдель работа над конструируемой вселенной, которая, наряду с методом принуждение разработан Пол Коэн можно показать, чтобы доказать (опять же философски интересно) независимость из аксиома выбора и гипотеза континуума из других аксиом теории множеств.

С другой стороны, сама теория моделей может быть формализована в рамках теории множеств ZFC. Развитие основ теории моделей (таких как теорема компактности) опирается на аксиому выбора или, точнее, теорему о булевом простом идеале. Другие результаты в теории моделей зависят от теоретико-множественных аксиом за пределами стандартной структуры ZFC. Например, если гипотеза континуума верна, то каждая счетная модель обладает сверхмощью, которая является насыщенной (по своей мощности). Аналогично, если гипотеза обобщенного континуума верна, то каждая модель имеет насыщенное элементарное расширение. Ни один из этих результатов нельзя доказать только с помощью ZFC. Наконец, было показано, что некоторые вопросы, возникающие из теории моделей (например, компактность для бесконечных логик), эквивалентны аксиомам больших кардиналов.

Другие основные понятия

Сокращает и расширяет

Основная статья: Уменьшить

Поле или векторное пространство можно рассматривать как (коммутативную) группу, просто игнорируя часть его структуры. Соответствующее понятие в теории моделей - понятие сокращать структуры в подмножество исходной подписи. Противоположное отношение называется расширение - например, (аддитивная) группа рациональное число, рассматриваемый как структура в подписи {+, 0}, может быть расширен до поля с подписью {×, +, 1,0} или до упорядоченной группы с подписью {+, 0, <}.

Аналогично, если σ '- сигнатура, расширяющая другую сигнатуру σ, то полная σ'-теория может быть ограничена на σ, пересекая множество ее предложений с множеством σ-формул. И наоборот, полную σ-теорию можно рассматривать как σ'-теорию, и ее можно расширить (более чем одним способом) до полной σ'-теории. К этому отношению иногда также применяются термины редукция и расширение.

Интерпретируемость

Основная статья: Интерпретация (теория моделей)

При заданной математической структуре очень часто существуют связанные структуры, которые могут быть построены как частное от части исходной структуры через отношение эквивалентности. Важный пример - фактор-группа группы.

Можно сказать, что для понимания полной структуры необходимо понимать эти частные. Когда отношение эквивалентности определимо, мы можем придать предыдущему предложению точное значение. Мы говорим, что эти структуры интерпретируемый.

Ключевым фактом является то, что можно переводить предложения с языка интерпретируемых структур на язык исходной структуры. Таким образом, можно показать, что если структура M интерпретирует другого, чья теория неразрешимый, тогда M сама по себе неразрешима.

Используя теоремы компактности и полноты

Теорема Гёделя о полноте (не путать с его теоремы о неполноте ) говорит, что теория имеет модель тогда и только тогда, когда она последовательный, т.е. никакого противоречия теория не доказывает. Это сердце теории моделей, поскольку оно позволяет нам отвечать на вопросы о теориях, глядя на модели, и наоборот. Не следует путать теорему о полноте с понятием полной теории. Полная теория - это теория, которая содержит все приговор или его отрицание. Важно отметить, что можно найти полную непротиворечивую теорию, расширяющую любую непротиворечивую теорию. Однако, как показывают теоремы Гёделя о неполноте, только в относительно простых случаях можно будет иметь полную непротиворечивую теорию, которая также рекурсивный, т.е. это можно описать рекурсивно перечислимый набор аксиом. В частности, теория натуральных чисел не имеет рекурсивной полной и непротиворечивой теории. Нерекурсивные теории имеют мало практического применения, поскольку они неразрешимый если предложенная аксиома действительно является аксиомой, делая проверка а сверхзадача.

В теорема компактности утверждает, что набор предложений S выполним, если выполнимо каждое конечное подмножество S. В контексте теория доказательств аналогичное утверждение тривиально, так как каждое доказательство может иметь только конечное число антецедентов, используемых в доказательстве. Однако в контексте теории моделей это доказательство несколько сложнее. Есть два хорошо известных доказательства, одно за другим. Гёдель (что проходит через доказательства) и один за другим Мальцев (что является более прямым и позволяет нам ограничить мощность результирующей модели).

Теория моделей обычно занимается логика первого порядка, и многие важные результаты (например, теоремы о полноте и компактности) не имеют логика второго порядка или другие альтернативы. В логике первого порядка все бесконечные кардиналы выглядят одинаково для языка, который счетный. Это выражается в Теоремы Левенхайма – Сколема, которые утверждают, что любая счетная теория с бесконечной моделью ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ имеет модели всех бесконечных мощностей (по крайней мере, модели языка), которые согласуются с ${displaystyle {mathfrak {A}}}$ на все предложения, т.е. они 'элементарно эквивалентный '.

Типы

Основная статья: Тип (теория модели)

Исправить ${displaystyle L}$-структура ${displaystyle M}$, и натуральное число ${displaystyle n}$. Множество определимых подмножеств ${displaystyle M^{n}}$ по некоторым параметрам ${displaystyle A}$ это Булева алгебра. К Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр к этому есть естественное двойственное понятие. Можно считать, что это топологическое пространство состоящий из максимальных непротиворечивых наборов формул над ${displaystyle A}$. Мы называем это пространством (полным) ${displaystyle n}$-типы над ${displaystyle A}$, и писать ${displaystyle S_{n}(A)}$.

Теперь рассмотрим элемент ${displaystyle min M^{n}}$. Тогда множество всех формул ${displaystyle phi }$ с параметрами в ${displaystyle A}$ в свободных переменных ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$ так что ${displaystyle Mmodels phi (m)}$ непротиворечивый и максимальный такой. Это называется тип из ${displaystyle m}$ над ${displaystyle A}$.

Это можно показать для любого ${displaystyle n}$-тип ${displaystyle p}$, существует элементарная расширение ${displaystyle N}$ из ${displaystyle M}$ и немного ${displaystyle ain N^{n}}$ так что ${displaystyle p}$ это тип ${displaystyle a}$ над ${displaystyle A}$.

Многие важные свойства в теории моделей могут быть выражены с помощью типов. Далее многие доказательства проходят через построение моделей с элементами, которые содержат элементы с определенными типами, а затем с использованием этих элементов.

Наглядный пример: Предполагать ${displaystyle M}$ является алгебраически замкнутое поле. В теории есть кванторное исключение. Это позволяет нам показать, что тип определяется в точности содержащимися в нем полиномиальными уравнениями. Таким образом, пространство ${displaystyle n}$-типы над подполем ${displaystyle A}$ является биективный с набором главные идеалы из кольцо многочленов ${displaystyle A[x_{1},ldots ,x_{n}]}$. Это тот же набор, что и спектр из ${displaystyle A[x_{1},ldots ,x_{n}]}$. Однако обратите внимание, что топология, рассматриваемая в пространстве типов, - это конструктивная топология: набор типов базовый открыто если и только если он имеет форму ${displaystyle {p:f(x)=0in p}}$ или формы ${displaystyle {p:f(x)eq 0in p}}$. Это лучше, чем Топология Зарисского.

История

Теория моделей как предмет существует примерно с середины 20 века. Однако некоторые более ранние исследования, особенно в математическая логика, ретроспективно часто рассматривается как имеющий теоретико-модельный характер. Первым значительным результатом того, что сейчас стало теорией моделей, был частный случай нисходящего Теорема Лёвенгейма – Сколема, опубликовано Леопольд Левенхайм в 1915 году. теорема компактности неявно присутствовал в работе Торальф Сколем,^[5] но впервые он был опубликован в 1930 г., как лемма в Курт Гёдель доказательство его теорема полноты. Теорема Лёвенгейма – Сколема и теорема компактности получили свои общие формы в 1936 и 1941 гг. Анатолий Мальцев.

Развитие теории моделей можно проследить до Альфред Тарский, член Львов – Варшавская школа вовремя межвоенный. Работы Тарского включены логическое следствие, дедуктивные системы, алгебра логики, теория определимости и семантическое определение истины, среди других тем. Его семантические методы привели к созданию теории моделей, которую он и ряд его авторов. Беркли студенты развивались в 1950-х и 60-х годах. Эти современные концепции теории моделей повлияли на Программа Гильберта и современная математика.

Смотрите также

Алгебраическая теория Аксиоматизируемый класс Теорема компактности Описательная сложность Элементарная эквивалентность

Теории первого порядка Гиперреальное число Теория институциональной модели Семантика Крипке Теорема Лёвенгейма – Сколема

Теоретико-модельная грамматика Теория доказательств Насыщенная модель Сколем нормальная форма Подключение языков веб-онтологий (OWL) к логике описания

Примечания

1. Чанг и Кейслер, п. 1
2. Чанг и Кейслер, п. 1
3. Дирк ван Дален, (1980; пятая редакция 2013) «Логика и структура» Springer. (Видеть Страница 1. )
4. В счетной подписи. Теорема имеет прямое обобщение на бесчисленные подписи.
5. «Все три комментатора [то есть Воот, ван Хейенорт и Дребен] согласны с тем, что и теоремы о полноте и компактности подразумевались в Сколеме 1923…». [Доусон, Дж. У. (1993). «Компактность логики первого порядка: от Гёделя до Линдстрема». История и философия логики. 14: 15. Дои:10.1080/01445349308837208.]

Рекомендации

Канонические учебники

• Чанг, Чен Чунг; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Модельная теория. Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN  978-0-444-88054-3.
• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая теория модели. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-58713-6.
• Копперман, Р. (1972). Теория моделей и ее приложения. Бостон: Аллин и Бэкон.
• Маркер, Дэвид (2002). Теория моделей: введение. Тексты для выпускников по математике 217. Springer. ISBN  0-387-98760-6.

Другие учебники

• Белл, Джон Л .; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и сверхпродукты: введение (перепечатка 1974 г.). Dover Publications. ISBN  0-486-44979-3.
• Эббингаус, Хайнц-Дитер; Флум, Йорг; Томас, Вольфганг (1994). Математическая логика. Springer. ISBN  0-387-94258-0.
• Хинман, Питер Г. (2005). Основы математической логики. А. К. Питерс. ISBN  1-56881-262-0.
• Ходжес, Уилфрид (1993). Теория моделей. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-30442-3.
• Манзано, Мария (1999). Теория моделей. Oxford University Press. ISBN  0-19-853851-0.
• Poizat, Бруно (2000). Курс теории моделей. Springer. ISBN  0-387-98655-3.
• Раутенберг, Вольфганг (2010). Краткое введение в математическую логику (3-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. Дои:10.1007/978-1-4419-1221-3. ISBN  978-1-4419-1220-6.
• Ротмалер, Филипп (2000). Введение в теорию моделей (новое изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN  90-5699-313-5.
• Палатка, Катрин; Зиглер, Мартин (2012). Курс теории моделей. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521763240.
• Кирби, Джонатан (2019). Приглашение к модельной теории. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-16388-1.

Бесплатные онлайн-тексты

• Чацидакис, Зоэ (2001). Введение в теорию моделей (PDF). С. 26 стр.
• Пиллэй, Ананд (2002). Конспект лекций - Теория моделей (PDF). стр. 61 стр.
• «Теория моделей», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Ходжес, Уилфрид, Теория моделей. Стэнфордская энциклопедия философии, Э. Залта (ред.).
• Ходжес, Уилфрид, Теория моделей первого порядка. Стэнфордская энциклопедия философии, Э. Залта (ред.).
• Симмонс, Гарольд (2004), Введение в старомодную теорию моделей. Конспект вводного курса для аспирантов (с упражнениями).
• Дж. Барвайз и С. Феферман (редакторы), Теоретико-модельная логика, Перспективы математической логики, том 8, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1985.

внешняя ссылка

• Карта Вселенной - Небольшая база данных теорий и их свойств.