Теория (математическая логика) - Theory (mathematical logic)

В математическая логика, а теория (также называемый формальная теория) представляет собой набор фразы в формальный язык. В большинстве сценариев дедуктивная система сначала понимается из контекста, после чего элемент ${displaystyle phi in T}$ теории ${displaystyle T}$ тогда называется теорема теории. Во многих дедуктивных системах обычно есть подмножество ${displaystyle Sigma subset T}$ что называется "набором аксиомы "теории ${displaystyle T}$, в этом случае дедуктивная система также называется "аксиоматическая система ". По определению каждая аксиома автоматически становится теоремой. A теория первого порядка это набор первый заказ предложения (теоремы) рекурсивно полученный правила вывода системы применительно к набору аксиом.

Общие теории (выраженные формальным языком)

При определении теорий для фундаментальных целей необходимо проявлять дополнительную осторожность, поскольку обычный теоретико-множественный язык может не подходить.

Построение теории начинается с определения определенного непустого концептуальный класс ${displaystyle {mathcal {E}}}$, элементы которого называются заявления. Эти начальные утверждения часто называют примитивные элементы или же элементарный утверждения теории - чтобы отличать их от других утверждений, которые могут быть выведены из них.

Теория ${displaystyle {mathcal {T}}}$ представляет собой концептуальный класс, состоящий из некоторых из этих элементарных утверждений. Элементарные утверждения, принадлежащие ${displaystyle {mathcal {T}}}$ называются элементарные теоремы из ${displaystyle {mathcal {T}}}$ и говорят, что они истинный. Таким образом, теорию можно рассматривать как способ обозначить подмножество ${displaystyle {mathcal {E}}}$ которые содержат только истинные утверждения.

Этот общий способ обозначения теории предусматривает, что истинность любого из ее элементарных утверждений неизвестна без ссылки на ${displaystyle {mathcal {T}}}$. Таким образом, одно и то же элементарное утверждение может быть истинным по отношению к одной теории и ложным по отношению к другой. Это напоминает случай на обычном языке, когда утверждения типа «Он честный человек» не могут быть признаны истинными или ложными без интерпретации того, кто «он», и - в этом отношении - что такое «честный человек» согласно этой теории. .^[1]

Подтеории и расширения

Теория ${displaystyle {mathcal {S}}}$ это подтеория теории ${displaystyle {mathcal {T}}}$ если ${displaystyle {mathcal {S}}}$ это подмножество ${displaystyle {mathcal {T}}}$. Если ${displaystyle {mathcal {T}}}$ это подмножество ${displaystyle {mathcal {S}}}$ тогда ${displaystyle {mathcal {S}}}$ называется расширение или супертеория из ${displaystyle {mathcal {T}}}$

Дедуктивные теории

Теория называется дедуктивная теория если ${displaystyle {mathcal {T}}}$ является индуктивный класс. То есть его содержание основано на некоторых формальная дедуктивная система и что некоторые из его элементарных утверждений приняты как аксиомы. В дедуктивной теории любое предложение, являющееся логическое следствие одной или нескольких аксиом также является предложением этой теории.^[1]

Последовательность и полнота

Основные статьи: Последовательность и Полнота (логика)

А синтаксически последовательная теория это теория, с помощью которой не каждое предложение основного языка может быть доказано (в отношении некоторых дедуктивная система что обычно ясно из контекста). В дедуктивной системе (такой как логика первого порядка), которая удовлетворяет принцип взрыва, это равносильно требованию, чтобы не было такого предложения φ, что и φ, и его отрицание могут быть доказаны с помощью теории.

А удовлетворительная теория теория, имеющая модель. Это означает, что есть структура M который удовлетворяет каждое предложение в теории. Любая выполнимая теория синтаксически непротиворечива, потому что структура, удовлетворяющая теории, будет удовлетворять ровно одному из φ и отрицанию φ для каждого предложения φ.

А последовательная теория иногда определяется как синтаксически последовательная теория, а иногда - как выполнимая теория. За логика первого порядка, наиболее важный случай, следует из теорема полноты что два значения совпадают.^[2] В другой логике, например логика второго порядка существуют синтаксически непротиворечивые теории, такие как ω-несовместные теории.

А полная последовательная теория (или просто полная теория) это последовательный теория ${displaystyle {mathcal {T}}}$ такое, что для любого предложения φ на его языке либо φ выводится из ${displaystyle {mathcal {T}}}$ или же ${displaystyle {mathcal {T}}}$ ${displaystyle cup }$ {φ} несовместимо. Для теорий, закрытых логическим следствием, это означает, что для каждого предложения φ в теории содержится либо φ, либо его отрицание.^[3] An неполная теория непротиворечивая теория, которая не является полной.

(смотрите также ω-последовательная теория для более сильного представления о последовательности.)

Интерпретация теории

Основная статья: Интерпретация (логика)

An интерпретация теории это отношения между теорией и некоторой предметной областью, когда есть многие к одному соответствие между некоторыми элементарными утверждениями теории и некоторыми содержательными утверждениями, относящимися к предмету изучения. Если каждому элементарному утверждению теории соответствует содержательный корреспондент, оно называется полная интерпретация, иначе это называется частичная интерпретация.^[4]

Теории, связанные со структурой

Каждый структура есть несколько связанных теорий. В полная теория структуры А это набор всех первый заказ фразы над подпись из А которые удовлетворены А. Обозначается Th (А). В более общем плане теория из K, класс σ-структур, есть множество всех σ-предложения которые удовлетворяют все структуры в K, и обозначается Th (K). Ясно Th (А) = Th ({А}). Эти понятия можно определить и относительно других логик.

Для каждой σ-структуры А, есть несколько связанных теорий в большей сигнатуре σ ', которая расширяет σ, добавляя один новый постоянный символ для каждого элемента области А. (Если новые постоянные символы отождествляются с элементами А которые они представляют, σ 'можно принять как σ ${displaystyle cup }$ A.) Мощность σ ', таким образом, больше мощности σ и мощности А.

В диаграмма из А состоит из всех атомарных или отрицательных атомарных σ'-предложений, которым удовлетворяет А и обозначается diag_А. В положительная диаграмма из А есть множество всех атомарных σ'-предложений, которые А удовлетворяет. Обозначается как diag⁺_А. В элементарная схема из А это установленный eldiag_А из все σ'-предложения первого порядка, которым удовлетворяют А или, что то же самое, полная (первого порядка) теория естественного расширение из А сигнатуре σ '.

Теории первого порядка

Дальнейшая информация: Список теорий первого порядка

Теория первого порядка ${displaystyle {mathcal {QS}}}$ это набор предложений в первом порядке формальный язык ${displaystyle {mathcal {Q}}}$.

Вывод в теории первого порядка

Основная статья: Логика первого порядка § Дедуктивные системы

Существует множество формальных систем вывода («доказательств») логики первого порядка. К ним относятся Дедуктивные системы гильберта, естественный вычет, то последовательное исчисление, то Tableaux метод и разрешающая способность.

Синтаксическое следствие в теории первого порядка

Основная статья: Логика первого порядка § Действительность, выполнимость и логическое следствие

А формула А это синтаксическое следствие теории первого порядка ${displaystyle {mathcal {QS}}}$ если есть происхождение из А используя только формулы в ${displaystyle {mathcal {QS}}}$ как нелогические аксиомы. Такая формула А также называется теоремой ${displaystyle {mathcal {QS}}}$. Обозначение "${displaystyle {mathcal {QS}}vdash A}$"указывает А это теорема ${displaystyle {mathcal {QS}}}$.

Интерпретация теории первого порядка

Основная статья: Структура (математическая логика)

An интерпретация теории первого порядка обеспечивает семантику формул теории. Говорят, что интерпретация удовлетворяет формуле, если формула верна согласно интерпретации. А модель теории первого порядка ${displaystyle {mathcal {QS}}}$ интерпретация, в которой каждая формула ${displaystyle {mathcal {QS}}}$ доволен.

Теории первого порядка с идентичностью

Основная статья: Логика первого порядка § Равенство и его аксиомы

Теория первого порядка ${displaystyle {mathcal {QS}}}$ является теорией первого порядка с тождеством, если ${displaystyle {mathcal {QS}}}$ включает символ отношения тождества "=" и схемы аксиом рефлексивности и подстановки для этого символа.

Темы, связанные с теориями первого порядка

• Теорема компактности
• Последовательный набор
• Теорема дедукции
• Теорема перечисления
• Лемма Линденбаума
• Теорема Левенгейма – Сколема

Примеры

Один из способов сформулировать теорию - определить набор аксиомы на определенном языке. При желании теория может включать только эти аксиомы или их логические или доказуемые следствия. Полученные таким образом теории включают ZFC и Арифметика Пеано.

Второй способ сформулировать теорию - начать с структура, и пусть теория будет набором предложений, которым удовлетворяет структура. Это метод создания полных теорий семантическим путем с примерами, включающими набор истинных предложений под структурой (N, +, ×, 0, 1, =), где N - множество натуральных чисел, а множество истинных предложений со структурой (р, +, ×, 0, 1, =), где р это набор действительных чисел. Первая из них, называемая теорией истинная арифметика, не может быть записан как совокупность логических следствий любого перечислимый аксиом. Теория (р, +, ×, 0, 1, =) было показано Тарским разрешимый; это теория настоящие закрытые поля (видеть Разрешимость теории действительных чисел первого порядка для большего).

Смотрите также

• Аксиоматическая система
• Интерпретируемость
• Список теорий первого порядка
• Математическая теория

Рекомендации

1. Хаскелл Карри, Основы математической логики, 2010.
2. Вайс, Уильям; Д'Мелло, Чери (2015). «Основы теории моделей» (PDF). Университет Торонто - математический факультет.
3. «Полнота (по логике) - Математическая энциклопедия». www.encyclopediaofmath.org. Получено 2019-11-01.
4. Хаскелл Карри, Основы математической логики, 2010, с. 48.

дальнейшее чтение

• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая теория модели. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-58713-1.