Изображение (математика) - Image (mathematics) - Wikipedia

Для использования в других целях см. Изображение (значения).

ж это функция из домена Икс в codomain Y. Желтый овал внутри Y это изображение ж.

В математика, то изображение из функция - это набор всех возможных выходных значений.

В более общем плане оценка данной функции ж в каждом элементе данного подмножества А своего домен производит набор, называемый "изображение из А под (или через) ж ". Точно так же обратное изображение (или же прообраз) данного подмножества B из codomain из ж, это набор всех элементов домена, которые сопоставляются с членами B.

Изображение и инверсное изображение также могут быть определены для общего бинарные отношения, а не только функции.

Определение

Слово «изображение» используется тремя взаимосвязанными способами. В этих определениях ж : Икс → Y это функция от набор Икс к набору Y.

Изображение элемента

Если Икс является членом Икс, то изображение Икс под ж, обозначенный ж(Икс),^[1] это ценить из ж когда применяется к Икс. ж(Икс) также известен как результат ж для аргумента Икс.

Изображение подмножества

Образ подмножества А ⊆ Икс под ж, обозначенный ${\displaystyle f[A]}$, является подмножеством Y который можно определить с помощью обозначение построителя множеств следующее:^[2]

${\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}$

Когда нет риска запутаться, ${\displaystyle f[A]}$ просто записывается как ${\displaystyle f(A)}$. Это обычное соглашение; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает ж[.] функция, чья домен это набор мощности из Икс (набор всех подмножества из Икс), и чьи codomain это набор мощности Y. Видеть § Обозначения ниже, чтобы узнать больше.

Изображение функции

В изображение функции - это изображение всего ее домен, также известный как классифицировать функции.^[3]

Обобщение на бинарные отношения

Если р произвольный бинарное отношение на Икс×Y, то множество {y∈Y | xRy для некоторых Икс∈Икс } называется изображением или диапазоном р. Соответственно, множество { Икс∈Икс | xRy для некоторого y∈Y } называется областью р.

Обратное изображение

«Прообраз» перенаправляется сюда. Для криптографической атаки на хэш-функции см. атака на прообраз.

Позволять ж быть функцией от Икс к Y. В прообраз или же обратное изображение набора B ⊆ Y под ж, обозначаемый ${\displaystyle f^{-1}[B]}$, является подмножеством Икс определяется

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}$

Другие обозначения включают ж ⁻¹ (B)^[4] и ж ⁻ (B).^[5] Прообраз одиночка, обозначаемый ж ⁻¹[{у}] или ж ⁻¹[у], также называется волокно над у или набор уровней из у. Набор всех волокон над элементами Y это семейство множеств, индексируемых Y.

Например, для функции ж(Икс) = Икс², прообраз {4} будет {−2, 2}. Опять же, если нет риска запутаться, ж ⁻¹[B] можно обозначить как ж ⁻¹(B), и ж ⁻¹ также можно рассматривать как функцию от набора мощности Y к силовому набору Икс. Обозначение ж ⁻¹ не следует путать с этим для обратная функция, хотя он совпадает с обычным для биекций в том, что прообраз B под ж это изображение B под ж ⁻¹.

Обозначение для изображения и инверсии

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернатива^[6] заключается в том, чтобы дать явные имена для изображения и прообраза как функции между наборами степеней:

Обозначение стрелки

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ с ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ с ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

Звездное обозначение

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ вместо ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ вместо ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Другая терминология

• Альтернативное обозначение для ж[А] используется в математическая логика и теория множеств является ж "А.^[7][8]
• Некоторые тексты относятся к изображению ж как диапазон ж, но этого использования следует избегать, потому что слово "диапазон" также обычно используется для обозначения codomain из ж.

Примеры

1. ж: {1, 2, 3} → {а, б, в, г} определяется ${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\a,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.}$
   В изображение множества {2, 3} при ж является ж({2, 3}) = {а, в}. В изображение функции ж является {а, в}. В прообраз из а является ж ⁻¹({а}) = {1, 2}. В прообраз из {а, б} также {1, 2}. Прообраз {б, d} это пустой набор {}.
2. ж: р → р определяется ж(Икс) = Икс².
   В изображение из {−2, 3} под ж является ж({−2, 3}) = {4, 9}, а изображение из ж является р⁺. В прообраз из {4, 9} под ж является ж ⁻¹({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Прообраз набора N = {п ∈ р | п <0} меньше ж - пустой набор, потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел.
3. ж: р² → р определяется ж(Икс, у) = Икс² + у².
   В волокна ж ⁻¹({а}) находятся концентрические круги о источник, само происхождение и пустой набор, в зависимости от того, а > 0, а = 0, или а <0 соответственно.
4. Если M это многообразие и π: TM → M канонический проекция от касательный пучок TM к M, то волокна из π являются касательные пространства Т_Икс(M) за Икс∈M. Это тоже пример пучок волокон.
5. Фактор-группа - это гомоморфный образ.

Характеристики

Смотрите также: Алгебра множеств и Список установленных идентичностей и отношений

Контрпримеры на основе ж:ℝ → ℝ, Икс↦Икс^2, показывая что равенство вообще нужно не соблюдаются некоторые законы:
ж(А1∩А2) ⊊ ж(А1) ∩ ж(А2)
ж(ж^−1(B3)) ⊊ B3
ж^−1(ж(А4)) ⊋ А4

Общий

Для каждой функции ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ и все подмножества ${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle B\subseteq Y}$, выполняются следующие свойства:

Изображение	Прообраз
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$ (равно, если ${\displaystyle B\subseteq f(X)}$, например ${\displaystyle f}$ сюръективно)[9][10]	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (равно, если ${\displaystyle f}$ инъективно)[9][10]
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[9]
${\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}$[11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[11]
${\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}$[11]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[11]

Также:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Несколько функций

Для функций ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ и ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ с подмножествами ${\displaystyle A\subseteq X}$ и ${\displaystyle C\subseteq Z}$, выполняются следующие свойства:

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Множественные подмножества домена или кодомена

Для функции ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ и подмножества ${\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}$ и ${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}$, выполняются следующие свойства:

Изображение	Прообраз
${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}$	${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$[11][12]	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$[11][12] (равно, если ${\displaystyle f}$ инъективен[13])	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}$[11] (равно, если ${\displaystyle f}$ инъективен[13])	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$[11]
${\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}$ (равно, если ${\displaystyle f}$ инъективно)	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}$

Результаты, связывающие изображения и прообразы с (Булево ) алгебра пересечение и союз работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$

(Здесь, S может быть бесконечным, даже бесчисленное множество.)

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного изображения является решеточный гомоморфизм, а функция изображения - это только полурешетка гомоморфизм (т.е. не всегда сохраняет пересечения).

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция
• Изображение (теория категорий)
• Ядро функции
• Установить инверсию

Примечания

1. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-28.
2. "5.4: Функции и изображения / прообразы множеств". Математика LibreTexts. 2019-11-05. Получено 2020-08-28.
3. Вайсштейн, Эрик В. "Изображение". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-28.
4. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-28.
5. Долецки и Майнард 2016, стр. 4-5.
6. Блит 2005, п. 5.
7. Жан Э. Рубин (1967). Теория множеств для математика. Холден-Дэй. п. xix. КАК В  B0006BQH7S.
8. М. Рэндалл Холмс: Неоднородность мочеточников в обычных моделях НФУ, 29 декабря 2005 г., в: Semantic Scholar, стр. 2
9. Видеть Халмос 1960, п. 39
10. Видеть Мункрес 2000, п. 19
11. См. Стр. 388 Ли, Джон М. (2010). Введение в топологические многообразия, 2-е изд.
12. Келли 1985, п.85
13. Видеть Мункрес 2000, п. 21 год

Рекомендации

• Артин, Майкл (1991). Алгебра. Прентис Холл. ISBN  81-203-0871-9.
• Блит, Т. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры. Springer. ISBN  1-85233-905-5..
• Долецкий, Шимон; Майнард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии. Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств. Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. Zbl  0087.04403.
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология. Тексты для выпускников по математике. 27 (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN  978-0-387-90125-1.
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Верхний Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

В этой статье использованы материалы из Fiber on PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.