Пучок волокна - Fiber bundle

Не путать с Жгут оптического волокна.

Цилиндрический расческа показывая интуицию, стоящую за термином пучок волокон. Эта расческа похожа на пучок волокон, в котором базовое пространство представляет собой цилиндр, а волокна (щетина ) являются отрезками прямых. Отображение ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ взял бы точку на любой щетине и сопоставил бы ее с корнем на цилиндре.

В математика, и особенно топология, а пучок волокон (или в Британский английский, пучок волокон) это Космос то есть локально а пространство продукта, но глобально может быть другой топологическая структура. В частности, сходство между пространством ${\displaystyle E}$ и пространство продукта ${\displaystyle B\times F}$ определяется с помощью непрерывный сюръективный карта

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

что в небольших регионах E ведет себя так же, как проекция из соответствующих областей ${\displaystyle B\times F}$ к ${\displaystyle B}$. Карта ${\displaystyle \pi }$, называется проекция или же погружение комплекта, рассматривается как часть его структуры. Космос ${\displaystyle E}$ известен как общая площадь пучка волокон, ${\displaystyle B}$ как базовое пространство, и ${\displaystyle F}$ в волокно.

в банальный дело, ${\displaystyle E}$ просто ${\displaystyle B\times F}$, а отображение π - это просто проекция из пространства произведения на первый фактор. Это называется тривиальная связка. Примеры нетривиальных расслоений включают: Лента Мебиуса и Бутылка Клейна, а также нетривиальные покрытия пространства. Пучки волокон, такие как касательный пучок из многообразие и более общие векторные пакеты играть важную роль в дифференциальная геометрия и дифференциальная топология, как и основные связки.

Отображения между тотальными пространствами расслоений, которые «коммутируют» с отображениями проекций, известны как связка карт, а класс расслоений образует категория относительно таких отображений. Связка из самого базового пространства (с тождественным отображением в качестве проекции) на ${\displaystyle E}$ называется раздел из ${\displaystyle E}$. Пучки волокон могут быть специализированы несколькими способами, наиболее распространенный из которых требует, чтобы переходы между локальными тривиальными участками лежали в определенных топологическая группа, известный как структурная группа, действуя на волокно ${\displaystyle F}$.

История

В топология, условия волокно (Немецкий: Faser) и волоконное пространство (gefaserter Raum) впервые появилась в статье Герберт Зайферт в 1933 г.,^[1][2] но его определения ограничены очень частным случаем. Однако главное отличие от современной концепции волоконного пространства заключалось в том, что для Зайферта то, что сейчас называется базовое пространство (топологическое пространство) расслоенного (топологического) пространства E не был частью структуры, но производился от нее как факторпространство E. Первое определение волоконное пространство был дан Хасслер Уитни в 1935 г. ^[3] под именем сфера, но в 1940 году Уитни сменила название на связка сфер.^[4]

Теория расслоенных пространств, из которых векторные пакеты, основные связки, топологический расслоения и расслоенные многообразия являются частным случаем, приписываемым Зейферту, Хайнц Хопф, Жак Фельдбау,^[5] Уитни, Норман Стинрод, Чарльз Эресманн,^[6][7][8] Жан-Пьер Серр,^[9] и другие.

Пучки волокон стали самостоятельным объектом исследования в период 1935–1940 гг. Первое общее определение появилось в работах Уитни.^[10]

Уитни пришел к общему определению расслоения на основе изучения более конкретного понятия расслоения. связка сфер,^[11] то есть расслоение, слой которого является сферой произвольной размерности.^[12]

Формальное определение

Пучок волокон - это структура ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$, куда ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle F}$ находятся топологические пространства и ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ это непрерывный сюрприз удовлетворение местная мелочь условие, изложенное ниже. Космос ${\displaystyle B}$ называется базовое пространство пакета, ${\displaystyle E}$ в общая площадь, и ${\displaystyle F}$ в волокно. Карта π называется карта проекции (или связка проекции). В дальнейшем будем предполагать, что базовое пространство ${\displaystyle B}$ является связаны.

Мы требуем этого для каждого ${\displaystyle x\in B}$, есть открытый район ${\displaystyle U\subset B}$ из ${\displaystyle x}$ (которую мы будем называть тривиализирующей окрестностью) такая, что существует гомеоморфизм ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$ (куда ${\displaystyle U\times F}$ - пространство продукта) таким образом, что π соглашается с прогнозом на первый фактор. То есть следующая диаграмма должна ездить:

(1)

куда ${\displaystyle {\text{proj}}_{1}:U\times F\rightarrow U}$ это естественная проекция и ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\rightarrow U\times F}$ является гомеоморфизмом. Набор всех ${\displaystyle \left\{\left(U_{i},\,\varphi _{i}\right)\right\}}$ называется локальная тривиализация комплекта.

Таким образом, для любого ${\displaystyle p\in B}$, то прообраз ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{p\})}$ гомеоморфен ${\displaystyle F}$ (поскольку proj₁⁻¹({п}) явно есть) и называется волокно над п. Каждый пучок волокон ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ является открытая карта, поскольку проекции продуктов - это открытые карты. Следовательно ${\displaystyle B}$ несет факторная топология определяется картой π.

Пучок волокон ${\displaystyle (E,\,B,\,\pi ,\,F)}$ часто обозначается

${\displaystyle {\begin{matrix}{}\\F\longrightarrow E\ {\xrightarrow {\,\ \pi \ }}\ B\\{}\end{matrix}}}$

(2)

что по аналогии с короткая точная последовательность, указывает, какое пространство является волокном, общее пространство и базовое пространство, а также карту от общего к базовому пространству.

А пучок гладких волокон расслоение в категория из гладкие многообразия. То есть, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle F}$ должны быть гладкими многообразиями, и все указанные выше функции должны быть гладкие карты.

Примеры

Тривиальный комплект

Позволять ${\displaystyle E=B\times F}$ и разреши ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ быть проекцией на первый фактор. потом ${\displaystyle E}$ является расслоением (из ${\displaystyle F}$) над ${\displaystyle B}$. Здесь ${\displaystyle E}$ не только местный продукт, но глобально один. Любой такой пучок волокон называется тривиальная связка. Любой пучок волокон над стягиваемым CW-комплекс тривиально.

Нетривиальные связки

Лента Мебиуса

Лента Мёбиуса - это нетривиальное расслоение над окружностью.

Пожалуй, самый простой пример нетривиальной связки ${\displaystyle E}$ это Лента Мебиуса. Он имеет круг который проходит по центру полосы в качестве основы ${\displaystyle B}$ и отрезок для волокна ${\displaystyle F}$, поэтому лента Мёбиуса представляет собой расслоение отрезка прямой над окружностью. Район ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle \pi (x)\in B}$ ( куда ${\displaystyle x\in E}$) - дуга; на картинке это длина одного из квадратов. Прообраз ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ на картинке - (несколько скрученный) кусок полосы шириной четыре квадрата и один длинный.

Гомеоморфизм (${\displaystyle \varphi }$ в разделе Формальное определение) существует, отображающий прообраз ${\displaystyle U}$ (тривиальная окрестность) среза цилиндра: изогнута, но не скручена. Эта пара локально тривиализирует полосу. Соответствующее тривиальное расслоение ${\displaystyle B\times F}$ будет цилиндр, но полоса Мёбиуса имеет общий «поворот». Этот поворот виден только глобально; локально лента Мебиуса и цилиндр идентичны (выполнение одного вертикального разреза в любом из них дает одинаковое пространство).

Бутылка Клейна

Аналогичным нетривиальным расслоением является Бутылка Клейна, который можно рассматривать как «скрученный» пучок кругов над другим кругом. Соответствующее нескрученное (тривиальное) расслоение - это 2-тор, ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$.

Бутылка Клейна погруженный в трехмерном пространстве.

Тор.

Покрывающая карта

А покрывающее пространство расслоение такое, что проекция расслоения локальный гомеоморфизм. Отсюда следует, что волокно является дискретное пространство.

Векторные и главные пучки

Особый класс пучков волокон, называемый векторные пакеты, те, волокна которых векторные пространства (чтобы квалифицироваться как векторное расслоение, структурная группа расслоения - см. ниже - должна быть линейная группа ). Важные примеры векторных расслоений включают касательный пучок и котангенсный пучок гладкого многообразия. Из любого векторного расслоения можно построить комплект кадров из базы, которое является главным расслоением (см. ниже).

Другой особый класс пучков волокон, называемый основные связки, - расслоения, на слоях которых свободная и транзитивная действие группой ${\displaystyle G}$ задано, так что каждый слой является главное однородное пространство. Пакет часто указывается вместе с группой, называя ее принципалом. ${\displaystyle G}$-пучок. Группа ${\displaystyle G}$ также является структурной группой расслоения. Учитывая представление ${\displaystyle \rho }$ из ${\displaystyle G}$ в векторном пространстве ${\displaystyle V}$, векторное расслоение с ${\displaystyle \rho (G)\subseteq {\text{Aut}}(V)}$ как структурная группа может быть построена, известная как связанный пакет.

Наборы сфер

Основная статья: связка сфер

А связка сфер расслоение, слой которого является п-сфера. Учитывая векторное расслоение ${\displaystyle E}$ с метрика (например, касательный пучок к Риманово многообразие ) можно построить ассоциированный пучок единичных сфер, для которого слой над точкой ${\displaystyle x}$ - это множество всех единичных векторов в ${\displaystyle E_{x}}$. Когда рассматриваемое векторное расслоение является касательным расслоением ${\displaystyle TM}$расслоение единичных сфер известно как единичный касательный пучок.

Расслоение сфер частично характеризуется своим Класс Эйлера, что является степенью ${\displaystyle n+1}$ когомология класс в общем пространстве пучка. В случае ${\displaystyle n=1}$ расслоение сфер называется связка кругов а класс Эйлера равен первому Черн класс, который полностью характеризует топологию расслоения. Для любого ${\displaystyle n}$, учитывая класс Эйлера расслоения, можно вычислить его когомологии, используя длинная точная последовательность называется Последовательность гизина.

Смотрите также: Последовательность Ванга

Отображение торов

Если Икс это топологическое пространство и ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ это гомеоморфизм затем отображение тор ${\displaystyle M_{f}}$ имеет естественную структуру пучка волокон над круг с волокном ${\displaystyle X}$. Отображение торов гомеоморфизмов поверхностей особенно важно в Топология 3-многообразия.

Факторные пространства

Если ${\displaystyle G}$ это топологическая группа и ${\displaystyle H}$ это закрытая подгруппа, то при некоторых обстоятельствах факторное пространство ${\displaystyle G/H}$ вместе с факторной картой ${\displaystyle \pi \colon G\to G/H}$ является расслоением, слоем которого является топологическое пространство ${\displaystyle H}$. Необходимое и достаточное условие для (${\displaystyle G,\,G/H,\,\pi ,\,H}$) для образования расслоения состоит в том, что отображение ${\displaystyle \pi }$ признаться местные сечения (Стинрод 1951, §7).

Наиболее общие условия, при которых фактор-отображение допускает локальные сечения, неизвестны, хотя если ${\displaystyle G}$ это Группа Ли и ${\displaystyle H}$ замкнутая подгруппа (и, следовательно, подгруппа Ли по Теорема Картана ), то фактор-отображение является расслоением. Одним из примеров этого является Расслоение Хопфа, ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$, который представляет собой расслоение над сферой ${\displaystyle S^{2}}$ чья общая площадь ${\displaystyle S^{3}}$. С точки зрения групп Ли, ${\displaystyle S^{3}}$ можно отождествить с особая унитарная группа ${\displaystyle SU(2)}$. Абелева подгруппа диагональных матриц изоморфна группе круговая группа ${\displaystyle U(1)}$, а частное ${\displaystyle SU(2)/U(1)}$ диффеоморфна сфере.

В более общем смысле, если ${\displaystyle G}$ любая топологическая группа и ${\displaystyle H}$ замкнутая подгруппа, которая также является группой Ли, то ${\displaystyle G\to G/H}$ является расслоением.

Разделы

Основная статья: Секция (пучок волокон)

А раздел (или же поперечное сечение) пучка волокон ${\displaystyle \pi }$ это непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon B\to E}$ такой, что ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$ для всех Икс в B. Поскольку пучки, как правило, не имеют глобально определенных секций, одна из целей теории состоит в том, чтобы объяснить их существование. В препятствие к существованию сечения часто можно измерить классом когомологий, что приводит к теории характеристические классы в алгебраическая топология.

Самый известный пример - это теорема о волосатом шарике, где Класс Эйлера препятствие для касательный пучок 2-сферы, имеющей нигде не исчезающее сечение.

Часто бывает необходимо определять разделы только локально (особенно когда глобальные разделы не существуют). А местная секция расслоения является непрерывным отображением ${\displaystyle f\colon U\to E}$ куда U является открытый набор в B и ${\displaystyle \pi (f(x))=x}$ для всех Икс в U. Если ${\displaystyle (U,\,\varphi )}$ является локальной картой тривиализации, то локальные сечения всегда существуют над U. Такие участки находятся в соответствии 1-1 с непрерывными отображениями. ${\displaystyle U\to F}$. Разделы образуют пучок.

Структурные группы и переходные функции

Пучки волокон часто поставляются с группа симметрий, которые описывают условия согласования между перекрывающимися локальными картами тривиализации. В частности, пусть грамм быть топологическая группа который действует непрерывно в волоконном пространстве F слева. Мы ничего не теряем, если потребуем грамм играть верно на F так что его можно рассматривать как группу гомеоморфизмы из F. А грамм-атлас для связки (E, B, π, F) - это набор локальных карт тривиализации ${\displaystyle \{(U_{k},\,\varphi _{k})\}}$ такой, что для любого ${\displaystyle \varphi _{i},\varphi _{j}}$ для перекрывающихся графиков ${\displaystyle (U_{i},\,\varphi _{i})}$ и ${\displaystyle (U_{j},\,\varphi _{j})}$ функция

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}\colon \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F\to \left(U_{i}\cap U_{j}\right)\times F}$

дан кем-то

${\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\,\xi )=\left(x,\,t_{ij}(x)\xi \right)}$

куда т_ij : U_я ∩ U_j → грамм непрерывное отображение, называемое функция перехода. Два грамм-атласы эквивалентны, если их объединение также является грамм-атлас. А грамм-пучок является расслоением с классом эквивалентности грамм-атласы. Группа грамм называется структурная группа комплекта; аналогичный термин в физике группа датчиков.

В гладкой категории a грамм-бандл - это гладкий пучок волокон, в котором грамм это Группа Ли и соответствующее действие на F является гладким, а все функции перехода являются гладкими отображениями.

Функции перехода т_ij удовлетворяют следующим условиям

1. ${\displaystyle t_{ii}(x)=1\,}$
2. ${\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}\,}$
3. ${\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x).\,}$

Третье условие применяется к тройным перекрытиям. U_я ∩ U_j ∩ U_k и называется состояние коцикла (видеть Когомологии Чеха ). Важность этого состоит в том, что функции перехода определяют расслоение (если принять условие коцикла Чеха).

А главный грамм-пучок это грамм-бандл, где волокна F это главное однородное пространство для левого действия грамм сам (эквивалентно можно указать, что действие грамм на волокне F свободен и транзитивен, т.е. обычный ). В этом случае часто бывает удобно идентифицировать F с грамм и таким образом получить (правильное) действие грамм на основном связке.

Связать карты

Основная статья: Связать карту

Полезно иметь представление о отображении между двумя пучками волокон. Предположим, что M и N являются базовыми пространствами, а ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$ и ${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to N}$ пучки волокон над M и N, соответственно. Карта пакета (или морфизм пучка) состоит из пары непрерывных^[13] функции

${\displaystyle \varphi \colon E\to F,\quad f\colon M\to N}$

такой, что ${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$. То есть следующие диаграмма коммутирует:

Для пучков волокон со структурной группой грамм и чьи полные пространства (справа) грамм-пространства (например, главное расслоение), морфизмы расслоения также должны быть грамм-эквивариантный на волокнах. Это означает, что ${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$ это также грамм-морфизм из одного грамм-пространство в другое, т.е. ${\displaystyle \varphi (xs)=\varphi (x)s}$ для всех ${\displaystyle x\in E}$ и ${\displaystyle s\in G}$.

Если базовые пространства M и N совпадают, то морфизм расслоения над M из пучка волокон ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$ к ${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$ это карта ${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$ такой, что ${\displaystyle \pi _{E}=\pi _{F}\circ \varphi }$. Это означает, что карта пакета ${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$ охватывает личность M. То есть, ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$ и диаграмма коммутирует

Предположим, что оба ${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$ и ${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$ определены над одним и тем же базовым пространством M. Изоморфизм расслоения - это отображение расслоения ${\displaystyle (\varphi ,\,f)}$ между π_E : E → M и π_F : F → M такой, что ${\displaystyle f\equiv \mathrm {id} _{M}}$ и такой, что φ также является гомеоморфизмом.^[14]

Дифференцируемые пучки волокон

В категории дифференцируемые многообразия расслоения естественно возникают как погружения одного коллектора на другой. Не всякая (дифференцируемая) субмерсия:M → N из дифференцируемого многообразия M на другое дифференцируемое многообразие N рождает дифференцируемый пучок волокон. Во-первых, карта должна быть сюръективной, и (M, N, ƒ) называется расслоенное многообразие. Однако этого необходимого условия недостаточно, и обычно используется множество достаточных условий.

Если M и N компактны и связны, то любая субмерсия ж : M → N приводит к расслоению в том смысле, что существует расслоение F диффеоморфный каждому из слоев такой, что (E, B, π, F) = (M, N, ƒ, F) - расслоение. (Сюръективность следует из предположений, уже сделанных в этом случае.) В более общем смысле, предположение компактности может быть ослаблено, если субмерсия ƒ:M → N предполагается сюръективным правильная карта, что означает, что ƒ⁻¹(K) компактен для любого компактного подмножества K из N. Еще одно достаточное условие, связанное с Эресманн (1951) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFEhresmann1951 (помощь), заключается в том, что если ƒ:M → N сюръективно погружение с M и N дифференцируемые многообразия такой, что прообраз ƒ⁻¹{Икс} является компактный и связаны для всех Икс ∈ N, то ƒ допускает совместимую структуру расслоения (Мичор 2008, §17).

Обобщения

• Понятие о пучок применяется ко многим другим категориям математики за счет соответствующей модификации условия локальной тривиальности; ср. главное однородное пространство и торсор (алгебраическая геометрия).
• В топологии расслоение это отображение π : E → B это имеет определенные теоретико-гомотопический общие свойства с пучками волокон. В частности, при мягких технических предположениях пучок волокон всегда имеет свойство гомотопического подъема или свойство гомотопического покрытия (см. Стинрод (1951, 11.7) для подробностей). Это определяющее свойство расслоения.
• Участок жгута волокон - это «функция, выходной диапазон которой постоянно зависит от входа». Это свойство формально отражено в понятии зависимый тип.

Смотрите также

• Покрывающая карта
• Фибрация
• Калибровочная теория
• Набор хопфа
• I-связка
• Основной пакет
• Проективное расслоение
• Пакет Pullback
• Универсальный комплект
• Волокнистый коллектор
• Векторный набор
• Аффинный пакет
• Эквивариантный пучок
• Натуральный пучок
• Квазифибрация

Примечания

1. Зейферт, Герберт (1933). "Topologie dreidimensionaler gefaserter Räume". Acta Mathematica. 60: 147–238. Дои:10.1007 / bf02398271.
2. "Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume" на Проект Евклид.
3. Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 21 (7): 464–468. Дои:10.1073 / pnas.21.7.464. ЧВК  1076627. PMID  16588001.
4. Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 26 (2): 148–153. Дои:10.1073 / pnas.26.2.148. ЧВК  1078023. PMID  16588328.
5. Фельдбау, Жак (1939). "Sur la классификация волоконных пространств". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 208: 1621–1623.
6. Эресманн, Чарльз (1947). "Sur la théorie des espaces fibrés". Coll. Вершина. Alg. Париж. C.N.R.S .: 3–15.
7. Эресманн, Чарльз (1947). "Sur les espaces fibrés différentiables". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 224: 1611–1612.
8. Эресманн, Чарльз (1955). "Различия в пролонгации фиброволокна". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 240: 1755–1757.
9. Серр, Жан-Пьер (1951). "Homologie singulière des espaces fibrés. Приложения". Анналы математики. 54 (3): 425–505. Дои:10.2307/1969485. JSTOR  1969485.
10. Видеть Стинрод (1951, Предисловие)
11. В своих ранних работах Уитни называл расслоения сфер «сферами-пространствами». См. Например:
    • Уитни, Хасслер (1935). «Сферные пространства». Proc. Natl. Акад. Наука. 21 (7): 462–468. Дои:10.1073 / pnas.21.7.464. ЧВК  1076627. PMID  16588001.
    • Уитни, Хасслер (1937). «Топологические свойства дифференцируемых многообразий». Бык. Амер. Математика. Soc. 43 (12): 785–805. Дои:10.1090 / с0002-9904-1937-06642-0.
12. Уитни, Хасслер (1940). «К теории расслоений сфер» (PDF). Proc. Natl. Акад. Наука. 26 (2): 148–153. Дои:10.1073 / pnas.26.2.148. ЧВК  1078023. PMID  16588328.
13. В зависимости от категории задействованных пространств можно предположить, что функции обладают свойствами, отличными от непрерывности. Например, в категории дифференцируемых многообразий функции предполагаются гладкими. В категории алгебраических многообразий они являются регулярными морфизмами.
14. Или, по крайней мере, обратим в соответствующей категории; например, диффеоморфизм.

Рекомендации

• Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-08055-0
• Бликер, Дэвид (1981), Калибровочная теория и вариационные принципы, Чтение, масса: издательство Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-10096-9
• Эресманн, Чарльз. "Les Connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Брюссель, 1950. Жорж Тон, Льеж; Masson et Cie., Paris, 1951. С. 29–55.
• Хусемоллер, Дейл (1994), Пучки волокна, Springer Verlag, ISBN  978-0-387-94087-8
• Мичор, Питер В. (2008), Темы по дифференциальной геометрии, Аспирантура по математике, Vol. 93, Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2003-2
• Войцеховский, М. (2001) [1994], «Волоконное пространство», Энциклопедия математики, EMS Press

внешняя ссылка

• Пучок волокна, PlanetMath
• Роуленд, Тодд. «Пучок волокна». MathWorld.
• Создание символической скульптуры Джона Робинсона "Вечность"
• Сарданашвили, Геннадий, Расслоения, многообразия струй и лагранжева теория. Лекции для теоретиков, arXiv:0908.1886