Двухточечный тензор - Two-point tensor

«Двойной вектор» перенаправляется сюда. Для двойственных векторов см. двойное пространство. Для бивекторов см. бивектор.

Двухточечные тензоры, или же двойные векторы, находятся тензор -подобные величины, преобразующиеся как евклидовы векторы по каждому из их индексов и используются в механика сплошной среды для преобразования между опорными («материальными») и текущими («конфигурационными») координатами.^[1] Примеры включают градиент деформации и первый Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа.

Как и во многих приложениях тензоров, Обозначение суммирования Эйнштейна часто используется. Чтобы прояснить это обозначение, заглавные индексы часто используются для обозначения опорных координат и строчные буквы для текущих координат. Таким образом, двухточечный тензор будет иметь один заглавный и один строчный индекс; Например, А_jM.

Механика сплошной среды

Обычный тензор можно рассматривать как преобразование векторов в одной системе координат в другие векторы в той же системе координат. Напротив, двухточечный тензор преобразует векторы из одной системы координат в другую. То есть обычный тензор,

${\displaystyle \mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})}$,

активно трансформирует вектор ты к вектору v такой, что

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u} }$

где v и ты измеряются в одном пространстве, и их координаты представлены относительно одного и того же базиса (обозначены знаком "е").

Напротив, двухточечный тензор, грамм будет записано как

${\displaystyle \mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})}$

и преобразует вектор, U, в E система в вектор, v, в е система как

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {GU} }$.

Закон преобразования для двухточечного тензора

Предположим, что у нас есть две системы координат, одна со штрихом, а другая без штрихов, и компоненты вектора преобразуются между ними как

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}v_{q}}$.

Для тензоров предположим, что тогда мы имеем

${\displaystyle T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})}$.

Тензор в системе ${\displaystyle e_{i}}$. В другой системе пусть тот же тензор задается формулой

${\displaystyle T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})}$.

Мы можем сказать

${\displaystyle T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}}$.

потом

${\displaystyle T'=QTQ^{\mathsf {T}}}$

- обычное тензорное преобразование. Но двухточечный тензор между этими системами просто

${\displaystyle F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$

который преобразуется как

${\displaystyle F'=QF}$.

Самый банальный пример двухточечного тензора

Самым приземленным примером двухточечного тензора является тензор преобразования, Q в приведенном выше обсуждении. Обратите внимание, что

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}u_{q}}$.

Теперь, выписывая полностью,

${\displaystyle u=u_{q}e_{q}}$

а также

${\displaystyle v=v'_{p}e'_{p}}$.

Тогда это требует Q иметь форму

${\displaystyle Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$.

По определению тензорное произведение,

${\displaystyle (e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}=(e_{q}.e_{q})e'_{p}=3e'_{p}}$

(1)

Итак, мы можем написать

${\displaystyle u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})}$

Таким образом

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}}$

Включение (1), у нас есть

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}}$.

В уравнении, следующем за (1), есть четыре q!?

Смотрите также

• Смешанный тензор
• Ковариация и контравариантность векторов

Рекомендации

1. Хамфри, Джей Д. Сердечно-сосудистая механика твердого тела: клетки, ткани и органы. Springer Verlag, 2002.

внешняя ссылка

• Математические основы упругости Джерролд Э. Марсден, Томас Дж. Р. Хьюз
• Двухточечные тензоры в iMechanica