Механика сплошной среды - Continuum mechanics

Механика сплошной среды это филиал механика который имеет дело с механическим поведением материалов, моделируемых как непрерывная масса, а не как дискретные частицы. Французский математик Огюстен-Луи Коши был первым, кто сформулировал такие модели в XIX веке.

Объяснение

Моделирование объекта как континуума предполагает, что вещество объекта полностью заполняет пространство, которое он занимает. Такое моделирование объектов игнорирует тот факт, что материя состоит из атомы, и поэтому не является непрерывным; однако на шкалы длины намного больше, чем межатомные расстояния, такие модели обладают высокой точностью. Основные физические законы, такие как сохранение массы, то сохранение импульса, а сохранение энергии могут применяться к таким моделям для получения дифференциальные уравнения описывающих поведение таких объектов, а некоторая информация об исследуемом материале добавляется через учредительные отношения.

Механика сплошной среды имеет дело с физическими свойствами твердых тел и жидкостей, которые не зависят от каких-либо конкретных условий. система координат в которых они наблюдаются. Эти физические свойства затем представлены тензоры, которые являются математическими объектами, обладающими обязательным свойством независимости от системы координат. Эти тензоры могут быть выражены в системах координат для удобства вычислений.

Понятие континуума

Материалы, такие как твердые тела, жидкости и газы, состоят из молекулы разделенные пробелом. В микроскопическом масштабе материалы имеют трещины и неоднородности. Однако некоторые физические явления можно смоделировать, предполагая, что материалы существуют в виде континуум, то есть материя в теле непрерывно распределена и заполняет всю область пространства, которое она занимает.. Континуум - это тело, которое можно непрерывно подразделить на бесконечно малый элементы, свойства которых соответствуют свойствам сыпучего материала.

Справедливость предположения о континууме может быть подтверждена теоретическим анализом, в котором выявляется некая четкая периодичность или статистическая однородность и эргодичность из микроструктура существуют. В частности, гипотеза / предположение континуума опирается на концепции репрезентативный элементарный объем и разделение шкал на основе Условие Хилла – Манделя. Это условие обеспечивает связь между точкой зрения экспериментатора и теоретика на определяющие уравнения (линейные и нелинейные упругие / неупругие или связанные поля), а также способ пространственного и статистического усреднения микроструктуры.^{[1][страница нужна ]}

Когда разделение шкал не соблюдается, или когда кто-то хочет установить континуум с более высоким разрешением, чем у размера репрезентативного элемента объема (RVE), он использует элемент статистического объема (SVE), что, в свою очередь, приводит к случайным континуальным полям. Последние затем обеспечивают основу микромеханики для стохастических конечных элементов (SFE). Уровни SVE и RVE связывают механику сплошной среды с статистическая механика. RVE может быть оценен только ограниченным способом посредством экспериментального тестирования: когда конститутивный ответ становится пространственно однородным.

Специально для жидкости, то Число Кнудсена используется для оценки того, в какой степени можно сделать приближение непрерывности.

Автомобильный трафик как вводный пример

Рассмотрим автомобильное движение на шоссе с одной полосой для простоты. Несколько удивительно, но в знак уважения к ее эффективности, механика континуума эффективно моделирует движение автомобилей с помощью уравнение в частных производных (PDE) для плотности автомобилей. Знакомство с этой ситуацией позволяет нам немного понять дихотомию континуум-дискретность, лежащую в основе моделирования континуума в целом.

Для начала моделирования определите, что: ${displaystyle x}$ измеряет расстояние (в км) по шоссе; ${displaystyle t}$ время (в минутах); ${displaystyle ho (x,t)}$ плотность машин на трассе (в машинах / км в полосе движения); и ${displaystyle u(x,t)}$ это скорость потока (средняя скорость) этих автомобилей в позиции ${displaystyle x}$.

Сохранение выводит PDE (Уравнение в частных производных )

Машины не появляются и не исчезают. Рассмотрим любую группу машин: от конкретной машины позади группы, расположенной в ${displaystyle x=a(t)}$ к конкретному автомобилю спереди, расположенному по адресу ${displaystyle x=b(t)}$.Общее количество автомобилей в этой группе. ${displaystyle N=int _{a(t)}^{b(t)}ho (x,t),dx}$.Поскольку автомобили законсервированы (если есть обгон, то "машина спереди сзади" может стать другой машиной) ${displaystyle dN/dt=0}$.Но через Интегральное правило Лейбница

${displaystyle {egin{aligned}{}{frac {dN}{dt}}&={frac {d}{dt}}int _{a(t)}^{b(t)}ho (x,t),dx&=int _{a}^{b}{frac {partial ho }{partial t}},dx+ho (b,t){frac {db}{dt}}-ho (a,t){frac {da}{dt}}&=int _{a}^{b}{frac {partial ho }{partial t}},dx+ho (b,t)u(b,t)-ho (a,t)u(a,t)&=int _{a}^{b}left[{frac {partial ho }{partial t}}+{frac {partial }{partial x}}(ho u)ight]dxend{aligned}}}$

Обнуление этого интеграла справедливо для всех групп, то есть для всех интервалов ${displaystyle [a,b]}$.Единственный способ, которым интеграл может быть равен нулю для всех интервалов, - это если подынтегральное выражение равно нулю для всех ${displaystyle x}$Следовательно, сохранение дает нелинейное сохранение первого порядка в частных производных

${displaystyle {frac {partial ho }{partial t}}+{frac {partial }{partial x}}(ho u)=0}$

для всех позиций на трассе.

Этот PDE по сохранению применяется не только к автомобильному движению, но и к жидкостям, твердым веществам, толпам, животным, растениям, лесным пожарам, финансовым торговцам и так далее.

Наблюдение закрывает проблему

Предыдущее уравнение в частных производных представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными, поэтому для формирования уравнения необходимо другое уравнение. хорошо поставленная проблема. Такое дополнительное уравнение обычно необходимо в механике сплошных сред и обычно возникает в результате экспериментов. Что касается автомобильного движения, хорошо известно, что автомобили обычно движутся со скоростью в зависимости от плотности движения. ${displaystyle u=V(ho )}$ для некоторой экспериментально определенной функции ${displaystyle V}$ это убывающая функция плотности. Например, эксперименты в Линкольн туннель обнаружил, что хорошее прилегание (за исключением низкой плотности) достигается за счет ${displaystyle u=V(ho )=27.5ln(142/ho )}$ (км / час для плотности в машинах / км).^{[2][страница нужна ]}

Таким образом, основной континуальной моделью автомобильного движения является PDE.

${displaystyle {frac {partial ho }{partial t}}+{frac {partial }{partial x}}[ho V(ho )]=0}$

для плотности автомобиля ${displaystyle ho (x,t)}$ на шоссе.

Основные направления

Механика сплошной среды Изучение физики сплошных материалов	Механика твердого тела Изучение физики сплошных материалов с заданной формой покоя.	Эластичность Описывает материалы, которые после нанесения возвращаются в исходную форму. подчеркивает удалены.
		Пластичность Описывает материалы, которые необратимо деформируются после значительного приложенного напряжения.	Реология Изучение материалов как с твердыми, так и с жидкостными характеристиками.
	Гидравлическая механика Изучение физики сплошных материалов, которые деформируются под действием силы.	Неньютоновские жидкости не претерпевают деформаций, пропорциональных приложенному напряжению сдвига.
		Ньютоновские жидкости претерпевают деформации, пропорциональные приложенному напряжению сдвига.

Дополнительная область механики сплошных сред включает эластомерные пены, которые демонстрируют любопытную гиперболическую зависимость напряжения от деформации. Эластомер представляет собой настоящий континуум, но однородное распределение пустот придает ему необычные свойства.^[3]

Построение моделей

Рисунок 1. Конфигурация сплошного тела.

Модели механики сплошной среды начинаются с задания области в трехмерном пространстве. Евклидово пространство к материальному телу ${displaystyle {mathcal {B}}}$ моделируется. Точки в этой области называются частицами или материальными точками. Разные конфигурации или состояния тела соответствуют различным областям в евклидовом пространстве. Область, соответствующая конфигурации тела во время ${displaystyle t}$ помечен ${displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}})}$.

Конкретная частица внутри тела в определенной конфигурации характеризуется вектором положения

${displaystyle mathbf {x} =sum _{i=1}^{3}x_{i}mathbf {e} _{i},}$

куда ${displaystyle mathbf {e} _{i}}$ являются векторы координат в некоторых точка зрения выбран для задачи (см. рисунок 1). Этот вектор можно выразить как функция положения частицы ${displaystyle mathbf {X} }$ в некоторых эталонная конфигурация, например конфигурация в начальный момент времени, так что

${displaystyle mathbf {x} =kappa _{t}(mathbf {X} ).}$

Эта функция должна иметь различные свойства, чтобы модель имела физический смысл. ${displaystyle kappa _{t}(cdot )}$ должно быть:

• непрерывный со временем, чтобы тело изменилось реалистично,
• глобально обратимый все время, чтобы тело не могло пересекаться,
• сохраняющий ориентацию, поскольку преобразования, приводящие к зеркальным отражениям, в природе невозможны.

Для математической формулировки модели: ${displaystyle kappa _{t}(cdot )}$ также предполагается дважды непрерывно дифференцируемый, так что можно сформулировать дифференциальные уравнения, описывающие движение.

Силы в континууме

Смотрите также: Стресс (механика) и Тензор напряжений Коши

Механика сплошной среды имеет дело с деформируемыми телами, в отличие от твердые тела. Твердое тело - это деформируемое тело, обладающее прочностью на сдвиг, sc. твердое тело может выдерживать поперечные силы (силы, параллельные поверхности материала, на которую они действуют). С другой стороны, жидкости не выдерживают поперечных сил. При изучении механического поведения твердых тел и жидкостей предполагается, что они представляют собой сплошные тела, что означает, что материя заполняет всю область пространства, которое она занимает, несмотря на то, что материя состоит из атомов, имеет пустоты и дискретна. Следовательно, когда механика сплошной среды относится к точке или частице в непрерывном теле, она не описывает точку в межатомном пространстве или атомную частицу, а скорее идеализированную часть тела, занимающую эту точку.

Следуя классической динамике Ньютон и Эйлер, движение материального тела вызывается действием приложенных извне сил, которые, как предполагается, бывают двух видов: поверхностные силы ${displaystyle mathbf {F} _{C}}$ и телесные силы ${displaystyle mathbf {F} _{B}}$.^{[4][требуется полная цитата ]} Таким образом, общая сила ${displaystyle {mathcal {F}}}$ нанесенный на тело или часть тела может быть выражен как:

${displaystyle {mathcal {F}}=mathbf {F} _{C}+mathbf {F} _{B}}$

Поверхностные силы

Поверхностные силы или же контактные силы, выраженная как сила на единицу площади, может действовать либо на ограничивающую поверхность тела в результате механического контакта с другими телами, либо на воображаемые внутренние поверхности, ограничивающие части тела, в результате механического взаимодействия между части тела по обе стороны от поверхности (Принцип напряжений Эйлера-Коши ). Когда на тело действуют внешние контактные силы, тогда внутренние контактные силы передаются от точки к точке внутри тела, чтобы сбалансировать их действие, согласно Третий закон движения Ньютона сохранения линейный импульс и угловой момент (для сплошных тел эти законы называются Уравнения движения Эйлера ). Внутренние контактные силы связаны с деформация через основные уравнения. Внутренние контактные силы можно математически описать тем, как они связаны с движением тела, независимо от материального состава тела.^{[5][требуется полная цитата ]}

Распределение внутренних контактных сил по объему тела предполагается непрерывным. Следовательно, существует плотность контактной силы или же Тяговое поле Коши^{[6][требуется полная цитата ]} ${displaystyle mathbf {T} (mathbf {n} ,mathbf {x} ,t)}$ который представляет это распределение в конкретной конфигурации тела в данный момент времени ${displaystyle t,!}$. Это не векторное поле, потому что оно зависит не только от положения ${displaystyle mathbf {x} }$ конкретной материальной точки, но также и от локальной ориентации элемента поверхности, определяемой его нормальным вектором ${displaystyle mathbf {n} }$.^{[7][страница нужна ]}

Любая дифференциальная зона ${displaystyle dS,!}$ с нормальным вектором ${displaystyle mathbf {n} }$ заданной площади внутренней поверхности ${displaystyle S,!}$, ограничивая часть тела, испытывает контактную силу ${displaystyle dmathbf {F} _{C},!}$ возникает из-за контакта между обеими частями тела с каждой стороны ${displaystyle S,!}$, и это дается

${displaystyle dmathbf {F} _{C}=mathbf {T} ^{(mathbf {n} )},dS}$

куда ${displaystyle mathbf {T} ^{(mathbf {n} )}}$ это поверхностная тяга,^{[8][требуется полная цитата ]} также называемый вектор напряжения,^{[9][требуется полная цитата ]} тяга,^{[10][страница нужна ]} или же вектор тяги.^{[11][требуется полная цитата ]} Вектор напряжений - это безразличный вектор (см. Принцип напряжений Эйлера-Коши ).

Суммарное контактное усилие на конкретной внутренней поверхности ${displaystyle S,!}$ тогда выражается как сумма (поверхностный интеграл ) контактных сил на всех дифференциальных поверхностях ${displaystyle dS,!}$:

${displaystyle mathbf {F} _{C}=int _{S}mathbf {T} ^{(mathbf {n} )},dS}$

В механике сплошной среды тело считается свободным от напряжений, если единственные присутствующие силы - это межатомные силы (ионный, металлический, и силы Ван дер Ваальса ) требуется, чтобы удерживать тело вместе и сохранять форму при отсутствии всех внешних воздействий, включая гравитационное притяжение.^{[11][требуется полная цитата ][12][требуется полная цитата ]} Напряжения, возникающие при изготовлении кузова определенной конфигурации, также исключаются при рассмотрении напряжений в теле. Следовательно, в механике сплошной среды рассматриваются только напряжения, возникающие в результате деформации тела, sc. Учитываются только относительные изменения напряжения, а не абсолютные значения напряжения.

Силы тела

Силы тела силы, возникающие из источников вне тела^{[13][требуется полная цитата ]} которые действуют на объем (или массу) тела. Утверждение, что телесные силы возникают из-за внешних источников, означает, что взаимодействие между различными частями тела (внутренние силы) проявляются только через контактные силы.^{[8][требуется полная цитата ]} Эти силы возникают из-за присутствия тела в силовых полях, например гравитационное поле (гравитационные силы ) или электромагнитное поле (электромагнитные силы ) или из инерционные силы когда тела находятся в движении. Поскольку предполагается, что масса сплошного тела непрерывно распределена, любая сила, исходящая от массы, также непрерывно распределена. Таким образом, объемные силы задаются векторными полями, которые считаются непрерывными по всему объему тела,^{[14][требуется полная цитата ]} т.е. действуя по каждому пункту в нем. Силы тела представлены плотностью сил тела ${displaystyle mathbf {b} (mathbf {x} ,t)}$ (на единицу массы), которое представляет собой безразличное к кадру векторное поле.

В случае гравитационных сил интенсивность силы зависит от плотности массы или пропорциональна ей. ${displaystyle mathbf {ho } (mathbf {x} ,t),!}$ материала, и указывается в единицах силы на единицу массы (${displaystyle b_{i},!}$) или на единицу объема (${displaystyle p_{i},!}$). Эти две характеристики связаны через плотность материала уравнением ${displaystyle ho b_{i}=p_{i},!}$. Точно так же интенсивность электромагнитных сил зависит от силы (электрический заряд ) электромагнитного поля.

Полная сила тела, приложенная к сплошному телу, выражается как

${displaystyle mathbf {F} _{B}=int _{V}mathbf {b} ,dm=int _{V}ho mathbf {b} ,dV}$

Телесные силы и контактные силы, действующие на тело, приводят к соответствующим моментам силы (крутящие моменты ) относительно заданной точки. Таким образом, общий приложенный крутящий момент ${displaystyle {mathcal {M}}}$ о происхождении дается

${displaystyle {mathcal {M}}=mathbf {M} _{C}+mathbf {M} _{B}}$

В определенных ситуациях, которые обычно не рассматриваются при анализе механического поведения материалов, возникает необходимость включить два других типа сил: пара стрессов^{[примечание 1][заметка 2]} (поверхностные пары,^{[13][требуется полная цитата ]} моменты контакта)^{[14][требуется полная цитата ]} и моменты тела. Парные напряжения - это моменты на единицу площади, приложенные к поверхности. Моменты тела или пары тел - это моменты на единицу объема или на единицу массы, приложенные к объему тела. Оба важны при анализе напряжения поляризованного диэлектрического твердого тела под действием электрического поля, материалов, в которых принимается во внимание молекулярная структура (например кости), твердые тела под действием внешнего магнитного поля и дислокационная теория металлов.^{[9][требуется полная цитата ][10][страница нужна ][13][требуется полная цитата ]}

Материалы, которые демонстрируют пары тел и парные напряжения в дополнение к моментам, создаваемым исключительно силами, называются полярные материалы.^{[10][страница нужна ][14][требуется полная цитата ]} Неполярные материалы это те материалы, в которых есть только моменты силы. В классических разделах механики сплошных сред развитие теории напряжений основано на неполярных материалах.

Таким образом, сумма всех приложенных сил и моментов (относительно начала системы координат) в теле может быть задана как

${displaystyle {mathcal {F}}=int _{V}mathbf {a} ,dm=int _{S}mathbf {T} ,dS+int _{V}ho mathbf {b} ,dV}$

${displaystyle {mathcal {M}}=int _{S}mathbf {r} imes mathbf {T} ,dS+int _{V}mathbf {r} imes ho mathbf {b} ,dV}$

Кинематика: движение и деформация

Рис. 2. Движение сплошного тела.

Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещение. Смещение тела имеет две составляющие: смещение твердого тела и смещение. деформация. Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы или размера. Деформация подразумевает изменение формы и / или размера тела по сравнению с исходной или недеформированной конфигурацией. ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$ в текущую или деформированную конфигурацию ${displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}})}$ (Фигура 2).

Движение сплошного тела представляет собой непрерывную временную последовательность перемещений. Таким образом, материальное тело будет принимать разные конфигурации в разное время, так что частица занимает ряд точек в пространстве, которые описывают линию пути.

Существует непрерывность во время движения или деформации сплошного тела в том смысле, что:

• Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любое последующее время.
• Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любое последующее время, и материя внутри замкнутой поверхности всегда будет оставаться внутри.

Удобно указать эталонную конфигурацию или начальное состояние, из которого будут ссылаться все последующие конфигурации. Эталонная конфигурация не обязательно должна быть такой, которую когда-либо займет тело. Часто конфигурация на ${displaystyle t=0}$ считается эталонной конфигурацией, ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$. Компоненты ${displaystyle X_{i}}$ вектора положения ${displaystyle mathbf {X} }$ частицы, взятые относительно эталонной конфигурации, называются материальными или эталонными координатами.

При анализе движения или деформация твердых тел или поток жидкостей, необходимо описать последовательность или эволюцию конфигураций во времени. Одно описание движения сделано в терминах материальных или ссылочных координат, что называется описанием материала или лагранжевым описанием.

Лагранжево описание

В лагранжевом описании положение и физические свойства частиц описываются в терминах материальных или ссылочных координат и времени. В этом случае эталонная конфигурация - это конфигурация на ${displaystyle t=0}$. Наблюдатель, находящийся в системе отсчета, наблюдает за изменениями положения и физических свойств по мере того, как материальное тело перемещается в пространстве с течением времени. Полученные результаты не зависят от выбора начального времени и эталонной конфигурации. ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$. Это описание обычно используется в механика твердого тела.

В лагранжевом описании движение сплошного тела выражается функцией отображения ${displaystyle chi (cdot )}$ (Фигура 2),

${displaystyle mathbf {x} =chi (mathbf {X} ,t)}$

которое является отображением начальной конфигурации ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$ на текущую конфигурацию ${displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}})}$, задавая между ними геометрическое соответствие, т.е. задавая вектор положения ${displaystyle mathbf {x} =x_{i}mathbf {e} _{i}}$ что частица ${displaystyle X}$, с вектором положения ${displaystyle mathbf {X} }$ в недеформированной или эталонной конфигурации ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$, займет в текущей или деформированной конфигурации ${displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}})}$ вовремя ${displaystyle t}$. Компоненты ${displaystyle x_{i}}$ называются пространственными координатами.

Физические и кинематические свойства ${displaystyle P_{ijldots }}$, т.е. термодинамические свойства и скорость потока, которые описывают или характеризуют особенности материального тела, выражаются как непрерывные функции положения и времени, т. е. ${displaystyle P_{ijldots }=P_{ijldots }(mathbf {X} ,t)}$.

Материальная производная от любой собственности ${displaystyle P_{ijldots }}$ континуума, который может быть скаляром, вектором или тензором, представляет собой скорость изменения этого свойства во времени для конкретной группы частиц движущегося тела континуума. Материальная производная также известна как существенная производная, или же сопутствующая производная, или же конвективная производная. Это можно представить как скорость, с которой свойство изменяется при измерении наблюдателем, путешествующим с этой группой частиц.

В лагранжевом описании материальная производная от ${displaystyle P_{ijldots }}$ это просто частная производная по времени, а вектор положения ${displaystyle mathbf {X} }$ остается постоянным, так как не меняется со временем. Таким образом, мы имеем

${displaystyle {frac {d}{dt}}[P_{ijldots }(mathbf {X} ,t)]={frac {partial }{partial t}}[P_{ijldots }(mathbf {X} ,t)]}$

Мгновенное положение ${displaystyle mathbf {x} }$ является свойством частицы, а его материальной производной является мгновенная скорость потока ${displaystyle mathbf {v} }$ частицы. Следовательно, поле скорости потока континуума определяется выражением

${displaystyle mathbf {v} ={dot {mathbf {x} }}={frac {dmathbf {x} }{dt}}={frac {partial chi (mathbf {X} ,t)}{partial t}}}$

Точно так же поле ускорения определяется выражением

${displaystyle mathbf {a} ={dot {mathbf {v} }}={ddot {mathbf {x} }}={frac {d^{2}mathbf {x} }{dt^{2}}}={frac {partial ^{2}chi (mathbf {X} ,t)}{partial t^{2}}}}$

Непрерывность в лагранжевом описании выражается пространственной и временной непрерывностью отображения от эталонной конфигурации до текущей конфигурации материальных точек. Так описываются все физические величины, характеризующие континуум. В этом смысле функция ${displaystyle chi (cdot )}$ и ${displaystyle P_{ijldots }(cdot )}$ однозначны и непрерывны, с непрерывными производными по пространству и времени в любом требуемом порядке, обычно во втором или третьем.

Эйлерово описание

Непрерывность допускает обратное ${displaystyle chi (cdot )}$ проследить назад, где частица в настоящее время находится в ${displaystyle mathbf {x} }$ был расположен в исходной или указанной конфигурации ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$. В этом случае описание движения производится в терминах пространственных координат, что называется пространственным описанием или эйлеровым описанием, т.е. текущая конфигурация принимается за эталонную..

Эйлерово описание, введенное д'Аламбер, фокусируется на текущей конфигурации ${displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}})}$, уделяя внимание тому, что происходит в фиксированной точке пространства с течением времени, вместо того, чтобы уделять внимание отдельным частицам, движущимся в пространстве и времени. Такой подход удобно применять при изучении поток жидкости где кинематическое свойство, представляющее наибольший интерес, - это скорость, с которой происходят изменения, а не форма тела жидкости в контрольный момент времени.^[17]

Математически движение континуума с использованием эйлерова описания выражается функцией отображения

${displaystyle mathbf {X} =chi ^{-1}(mathbf {x} ,t)}$

который обеспечивает отслеживание частицы, которая теперь занимает позицию ${displaystyle mathbf {x} }$ в текущей конфигурации ${displaystyle kappa _{t}({mathcal {B}})}$ в исходное положение ${displaystyle mathbf {X} }$ в начальной конфигурации ${displaystyle kappa _{0}({mathcal {B}})}$.

Необходимым и достаточным условием существования этой обратной функции является то, что определитель Матрица Якоби, часто называемый просто якобианом, должен отличаться от нуля. Таким образом,

${displaystyle J=left|{frac {partial chi _{i}}{partial X_{J}}}ight|=left|{frac {partial x_{i}}{partial X_{J}}}ight|eq 0}$

В эйлеровом описании физические свойства ${displaystyle P_{ijldots }}$ выражаются как

${displaystyle P_{ijldots }=P_{ijldots }(mathbf {X} ,t)=P_{ijldots }[chi ^{-1}(mathbf {x} ,t),t]=p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)}$

где функциональная форма ${displaystyle P_{ijldots }}$ в лагранжевом описании не то же самое, что и форма ${displaystyle p_{ijldots }}$ в эйлеровом описании.

Материальная производная от ${displaystyle p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)}$, используя цепное правило, тогда

${displaystyle {frac {d}{dt}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]={frac {partial }{partial t}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]+{frac {partial }{partial x_{k}}}[p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)]{frac {dx_{k}}{dt}}}$

Первый член в правой части этого уравнения дает местная скорость изменения собственности ${displaystyle p_{ijldots }(mathbf {x} ,t)}$ происходящее на позиции ${displaystyle mathbf {x} }$. Второй член правой части - это скорость конвективного изменения и выражает вклад частицы в изменение положения в пространстве (движение).

Непрерывность в эйлеровом описании выражается пространственной и временной непрерывностью и непрерывной дифференцируемостью поля скорости потока. Все физические величины определяются таким образом в каждый момент времени в текущей конфигурации как функция положения вектора. ${displaystyle mathbf {x} }$.

Поле смещения

Вектор, соединяющий положения частицы ${displaystyle P}$ в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации называется вектор смещения ${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X} ,t)=u_{i}mathbf {e} _{i}}$, в лагранжевом описании, или ${displaystyle mathbf {U} (mathbf {x} ,t)=U_{J}mathbf {E} _{J}}$, в эйлеровом описании.

А поле смещения - векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещения. В общем, поле смещения выражается через материальные координаты как

${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X} ,t)=mathbf {b} +mathbf {x} (mathbf {X} ,t)-mathbf {X} qquad { ext{or}}qquad u_{i}=alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-alpha _{iJ}X_{J}}$

или в терминах пространственных координат как

${displaystyle mathbf {U} (mathbf {x} ,t)=mathbf {b} +mathbf {x} -mathbf {X} (mathbf {x} ,t)qquad { ext{or}}qquad U_{J}=b_{J}+alpha _{Ji}x_{i}-X_{J},}$

куда ${displaystyle alpha _{Ji}}$ - направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами ${displaystyle mathbf {E} _{J}}$ и ${displaystyle mathbf {e} _{i}}$, соответственно. Таким образом

${displaystyle mathbf {E} _{J}cdot mathbf {e} _{i}=alpha _{Ji}=alpha _{iJ}}$

и отношения между ${displaystyle u_{i}}$ и ${displaystyle U_{J}}$ тогда дается

${displaystyle u_{i}=alpha _{iJ}U_{J}qquad { ext{or}}qquad U_{J}=alpha _{Ji}u_{i}}$

Знаю это

${displaystyle mathbf {e} _{i}=alpha _{iJ}mathbf {E} _{J}}$

тогда

${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X} ,t)=u_{i}mathbf {e} _{i}=u_{i}(alpha _{iJ}mathbf {E} _{J})=U_{J}mathbf {E} _{J}=mathbf {U} (mathbf {x} ,t)}$

Обычно для недеформированной и деформированной конфигураций системы координат накладывают друг на друга, что приводит к ${displaystyle mathbf {b} =0}$, а направляющие косинусы принимают вид Дельты Кронекера, т.е.

${displaystyle mathbf {E} _{J}cdot mathbf {e} _{i}=delta _{Ji}=delta _{iJ}}$

Таким образом, мы имеем

${displaystyle mathbf {u} (mathbf {X} ,t)=mathbf {x} (mathbf {X} ,t)-mathbf {X} qquad { ext{or}}qquad u_{i}=x_{i}-delta _{iJ}X_{J}}$

или в терминах пространственных координат как

${displaystyle mathbf {U} (mathbf {x} ,t)=mathbf {x} -mathbf {X} (mathbf {x} ,t)qquad { ext{or}}qquad U_{J}=delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$

Основные уравнения

Механика сплошной среды имеет дело с поведением материалов, которое может быть аппроксимировано непрерывным для определенных значений длины и времени. Уравнения, управляющие механикой таких материалов, включают законы баланса для масса, импульс, и энергия. Кинематический отношения и основные уравнения необходимы для завершения системы определяющих уравнений. Можно применить физические ограничения на форму определяющих соотношений, потребовав, чтобы второй закон термодинамики быть удовлетворенным при любых условиях. В механике твердого тела второй закон термодинамики выполняется, если Клаузиус-Дюгем форма энтропийного неравенства выполняется.

Законы баланса выражают идею о том, что скорость изменения количества (массы, количества движения, энергии) в объеме должна возникать по трем причинам:

1. сама физическая величина течет через поверхность, ограничивающую объем,
2. есть источник физической величины на поверхности объема, или / и,
3. внутри объема есть источник физической величины.

Позволять ${displaystyle Omega }$ - тело (открытое подмножество евклидова пространства) и пусть ${displaystyle partial Omega }$ - его поверхность (граница ${displaystyle Omega }$).

Пусть движение материальных точек в теле описывается картой

${displaystyle mathbf {x} ={oldsymbol {chi }}(mathbf {X} )=mathbf {x} (mathbf {X} )}$

куда ${displaystyle mathbf {X} }$ - положение точки в исходной конфигурации и ${displaystyle mathbf {x} }$ - расположение той же точки в деформированной конфигурации.

Градиент деформации определяется выражением

${displaystyle {oldsymbol {F}}={frac {partial mathbf {x} }{partial mathbf {X} }}=abla {oldsymbol {mathbf {x} }}~.}$

Законы баланса

Позволять ${displaystyle f(mathbf {x} ,t)}$ быть физической величиной, протекающей через тело. Позволять ${displaystyle g(mathbf {x} ,t)}$ быть источниками на поверхности тела и позволить ${displaystyle h(mathbf {x} ,t)}$ быть источниками внутри тела. Позволять ${displaystyle mathbf {n} (mathbf {x} ,t)}$ быть внешней единицей нормали к поверхности ${displaystyle partial Omega }$. Позволять ${displaystyle mathbf {v} (mathbf {x} ,t)}$ - скорость потока физических частиц, несущих текущую физическую величину. Кроме того, пусть скорость, с которой ограничивающая поверхность ${displaystyle partial Omega }$ движется быть ${displaystyle u_{n}}$ (в направлении ${displaystyle mathbf {n} }$).

Тогда законы баланса можно выразить в общем виде

${displaystyle {cfrac {d}{dt}}left[int _{Omega }f(mathbf {x} ,t)~{ ext{dV}}ight]=int _{partial Omega }f(mathbf {x} ,t)[u_{n}(mathbf {x} ,t)-mathbf {v} (mathbf {x} ,t)cdot mathbf {n} (mathbf {x} ,t)]~{ ext{dA}}+int _{partial Omega }g(mathbf {x} ,t)~{ ext{dA}}+int _{Omega }h(mathbf {x} ,t)~{ ext{dV}}~.}$

Функции ${displaystyle f(mathbf {x} ,t)}$, ${displaystyle g(mathbf {x} ,t)}$, и ${displaystyle h(mathbf {x} ,t)}$ могут быть скалярными, векторными или тензорными - в зависимости от физической величины, с которой имеет дело уравнение баланса. Если в теле есть внутренние границы, скачки скачков также должны быть указаны в законах баланса.

Если мы возьмем Эйлеров С этой точки зрения можно показать, что законы баланса массы, импульса и энергии для твердого тела могут быть записаны как (при условии, что исходный член равен нулю для уравнений массы и углового момента)

${displaystyle {egin{aligned}{dot {ho }}+ho ~{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} &=0&&qquad { ext{Balance of Mass}}ho ~{dot {mathbf {v} }}-{oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {sigma }}-ho ~mathbf {b} &=0&&qquad { ext{Balance of Linear Momentum (Cauchy's first law of motion)}}{oldsymbol {sigma }}&={oldsymbol {sigma }}^{T}&&qquad { ext{Balance of Angular Momentum (Cauchy's second law of motion)}}ho ~{dot {e}}-{oldsymbol {sigma }}:({oldsymbol {abla }}mathbf {v} )+{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {q} -ho ~s&=0&&qquad { ext{Balance of Energy.}}end{aligned}}}$

В приведенных выше уравнениях ${displaystyle ho (mathbf {x} ,t)}$ - массовая плотность (ток), ${displaystyle {dot {ho }}}$ материальная производная по времени от ${displaystyle ho }$, ${displaystyle mathbf {v} (mathbf {x} ,t)}$ - скорость частицы, ${displaystyle {dot {mathbf {v} }}}$ материальная производная по времени от ${displaystyle mathbf {v} }$, ${displaystyle {oldsymbol {sigma }}(mathbf {x} ,t)}$ это Тензор напряжений Коши, ${displaystyle mathbf {b} (mathbf {x} ,t)}$ - плотность силы тела, ${displaystyle e(mathbf {x} ,t)}$ - внутренняя энергия на единицу массы, ${displaystyle {dot {e}}}$ материальная производная по времени от ${displaystyle e}$, ${displaystyle mathbf {q} (mathbf {x} ,t)}$ - вектор теплового потока, а ${displaystyle s(mathbf {x} ,t)}$ является источником энергии на единицу массы.

Относительно эталонной конфигурации (лагранжевой точки зрения) законы баланса можно записать в виде

${displaystyle {egin{aligned}ho ~det({oldsymbol {F}})-ho _{0}&=0&&qquad { ext{Balance of Mass}}ho _{0}~{ddot {mathbf {x} }}-{oldsymbol {abla }}_{circ }cdot {oldsymbol {P}}^{T}-ho _{0}~mathbf {b} &=0&&qquad { ext{Balance of Linear Momentum}}{oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {P}}^{T}&={oldsymbol {P}}cdot {oldsymbol {F}}^{T}&&qquad { ext{Balance of Angular Momentum}}ho _{0}~{dot {e}}-{oldsymbol {P}}^{T}:{dot {oldsymbol {F}}}+{oldsymbol {abla }}_{circ }cdot mathbf {q} -ho _{0}~s&=0&&qquad { ext{Balance of Energy.}}end{aligned}}}$

В приведенном выше описании ${displaystyle {oldsymbol {P}}}$ это первый Тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа, и ${displaystyle ho _{0}}$ - массовая плотность в эталонной конфигурации. Первый тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа связан с тензором напряжений Коши соотношением

${displaystyle {oldsymbol {P}}=J~{oldsymbol {sigma }}cdot {oldsymbol {F}}^{-T}~{ ext{where}}~J=det({oldsymbol {F}})}$

В качестве альтернативы мы можем определить тензор номинальных напряжений ${displaystyle {oldsymbol {N}}}$ который является транспонированием первого тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, такого что

${displaystyle {oldsymbol {N}}={oldsymbol {P}}^{T}=J~{oldsymbol {F}}^{-1}cdot {oldsymbol {sigma }}~.}$

Тогда законы баланса становятся

${displaystyle {egin{aligned}ho ~det({oldsymbol {F}})-ho _{0}&=0&&qquad { ext{Balance of Mass}}ho _{0}~{ddot {mathbf {x} }}-{oldsymbol {abla }}_{circ }cdot {oldsymbol {N}}-ho _{0}~mathbf {b} &=0&&qquad { ext{Balance of Linear Momentum}}{oldsymbol {F}}cdot {oldsymbol {N}}&={oldsymbol {N}}^{T}cdot {oldsymbol {F}}^{T}&&qquad { ext{Balance of Angular Momentum}}ho _{0}~{dot {e}}-{oldsymbol {N}}:{dot {oldsymbol {F}}}+{oldsymbol {abla }}_{circ }cdot mathbf {q} -ho _{0}~s&=0&&qquad { ext{Balance of Energy.}}end{aligned}}}$

Операторы в приведенных выше уравнениях определены так, что

${displaystyle {oldsymbol {abla }}mathbf {v} =sum _{i,j=1}^{3}{frac {partial v_{i}}{partial x_{j}}}mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}=v_{i,j}mathbf {e} _{i}otimes mathbf {e} _{j}~;~~{oldsymbol {abla }}cdot mathbf {v} =sum _{i=1}^{3}{frac {partial v_{i}}{partial x_{i}}}=v_{i,i}~;~~{oldsymbol {abla }}cdot {oldsymbol {S}}=sum _{i,j=1}^{3}{frac {partial S_{ij}}{partial x_{j}}}~mathbf {e} _{i}=sigma _{ij,j}~mathbf {e} _{i}~.}$

куда ${displaystyle mathbf {v} }$ - векторное поле, ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ - тензорное поле второго порядка, а ${displaystyle mathbf {e} _{i}}$ являются компонентами ортонормированного базиса в текущей конфигурации. Также,

${displaystyle {oldsymbol {abla }}_{circ }mathbf {v} =sum _{i,j=1}^{3}{frac {partial v_{i}}{partial X_{j}}}mathbf {E} _{i}otimes mathbf {E} _{j}=v_{i,j}mathbf {E} _{i}otimes mathbf {E} _{j}~;~~{oldsymbol {abla }}_{circ }cdot mathbf {v} =sum _{i=1}^{3}{frac {partial v_{i}}{partial X_{i}}}=v_{i,i}~;~~{oldsymbol {abla }}_{circ }cdot {oldsymbol {S}}=sum _{i,j=1}^{3}{frac {partial S_{ij}}{partial X_{j}}}~mathbf {E} _{i}=S_{ij,j}~mathbf {E} _{i}}$

куда ${displaystyle mathbf {v} }$ - векторное поле, ${displaystyle {oldsymbol {S}}}$ - тензорное поле второго порядка, а ${displaystyle mathbf {E} _{i}}$ являются компонентами ортонормированного базиса в эталонной конфигурации.

Внутренний продукт определяется как

${displaystyle {oldsymbol {A}}:{oldsymbol {B}}=sum _{i,j=1}^{3}A_{ij}~B_{ij}=operatorname {trace} ({oldsymbol {A}}{oldsymbol {B}}^{T})~.}$

Неравенство Клаузиуса-Дюгема

В Неравенство Клаузиуса-Дюгема можно использовать для выражения второго начала термодинамики для упругопластических материалов. Это неравенство является заявлением о необратимости природных процессов, особенно когда речь идет о диссипации энергии.

Как и в законах баланса в предыдущем разделе, мы предполагаем, что существует поток величины, источник количества и внутренняя плотность количества на единицу массы. В данном случае интерес представляет энтропия. Таким образом, мы предполагаем, что существует поток энтропии, источник энтропии, внутренняя массовая плотность ${displaystyle ho }$ и внутренняя удельная энтропия (т.е. энтропия на единицу массы) ${displaystyle eta }$ в интересующем регионе.

Позволять ${displaystyle Omega }$ будь таким регионом и пусть ${displaystyle partial Omega }$ быть его границей. Тогда второй закон термодинамики гласит, что скорость увеличения ${displaystyle eta }$ в этом регионе больше или равно сумме поставляемой ${displaystyle Omega }$ (как поток или из внутренних источников) и изменение плотности внутренней энтропии ${displaystyle ho eta }$ из-за поступления материала в регион и из него.

Позволять ${displaystyle partial Omega }$ двигаться со скоростью потока ${displaystyle u_{n}}$ и впустить частицы внутрь ${displaystyle Omega }$ иметь скорости ${displaystyle mathbf {v} }$. Позволять ${displaystyle mathbf {n} }$ быть единицей, направленной наружу нормально к поверхности ${displaystyle partial Omega }$. Позволять ${displaystyle ho }$ - плотность вещества в области, ${displaystyle {ar {q}}}$ - поток энтропии на поверхности, а ${displaystyle r}$ быть источником энтропии на единицу массы. Тогда энтропийное неравенство можно записать как

${displaystyle {cfrac {d}{dt}}left(int _{Omega }ho ~eta ~{ ext{dV}}ight)geq int _{partial Omega }ho ~eta ~(u_{n}-mathbf {v} cdot mathbf {n} )~{ ext{dA}}+int _{partial Omega }{ar {q}}~{ ext{dA}}+int _{Omega }ho ~r~{ ext{dV}}.}$

Скалярный поток энтропии можно связать с векторным потоком на поверхности соотношением ${displaystyle {ar {q}}=-{oldsymbol {psi }}(mathbf {x} )cdot mathbf {n} }$. В предположении постепенно изотермических условий имеем

${displaystyle {oldsymbol {psi }}(mathbf {x} )={cfrac {mathbf {q} (mathbf {x} )}{T}}~;~~r={cfrac {s}{T}}}$

куда ${displaystyle mathbf {q} }$ - вектор теплового потока, ${displaystyle s}$ - источник энергии на единицу массы, а ${displaystyle T}$ - абсолютная температура материальной точки при ${displaystyle mathbf {x} }$ вовремя ${displaystyle t}$.

Тогда имеем неравенство Клаузиуса – Дюгема в интегральной форме:

${displaystyle {{cfrac {d}{dt}}left(int _{Omega }ho ~eta ~{ ext{dV}}ight)geq int _{partial Omega }ho ~eta ~(u_{n}-mathbf {v} cdot mathbf {n} )~{ ext{dA}}-int _{partial Omega }{cfrac {mathbf {q} cdot mathbf {n} }{T}}~{ ext{dA}}+int _{Omega }{cfrac {ho ~s}{T}}~{ ext{dV}}.}}$

Можно показать, что энтропийное неравенство можно записать в дифференциальной форме как

${displaystyle {ho ~{dot {eta }}geq -{oldsymbol {abla }}cdot left({cfrac {mathbf {q} }{T}}ight)+{cfrac {ho ~s}{T}}.}}$

В терминах напряжения Коши и внутренней энергии неравенство Клаузиуса-Дюгема можно записать в виде

${displaystyle {ho ~({dot {e}}-T~{dot {eta }})-{oldsymbol {sigma }}:{oldsymbol {abla }}mathbf {v} leq -{cfrac {mathbf {q} cdot {oldsymbol {abla }}T}{T}}.}}$

Приложения

• Механика сплошной среды
  • Механика твердого тела
  • Гидравлическая механика
• Инженерное дело
  • Гражданское строительство
  • Машиностроение
  • Аэрокосмическая техника
  • Биомедицинская инженерия
  • Химическая инженерия

Смотрите также

• Принцип Бернулли
• Эластичный материал Коши
• Конфигурационная механика
• Криволинейные координаты
• Уравнение состояния
• Тензоры конечной деформации
• Теория конечных деформаций
• Гиперупругий материал
• Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения
• Подвижный клеточный автомат
• Перидинамика (нелокальная теория континуума, приводящая к интегральным уравнениям)
• Стресс (физика)
• Стрессовые меры
• Тензорное исчисление
• Тензорная производная (механика сплошной среды)
• Теория упругости

Примечания

1. Максвелл указал, что отличные от нуля моменты тела существуют в магните в магнитном поле и в диэлектрическом материале в электрическом поле с разными плоскостями поляризации. ^[15]
2. Парные напряжения и телесные пары были впервые исследованы Фойгтом и Коссера, а затем вновь введены Миндлином в 1960 году в его работе для Bell Labs над чистыми кристаллами кварца.^[16]

Рекомендации

1. Остоя-Старжевский 2008, главы 7–10. ошибка sfn: несколько целей (2 ×): CITEREFOstoja-Starzewski2008 (помощь)
2. Робертс 1994.
3. Dienes & Solem 1999 г. С. 155–162.
4. Смит и Трусделл, п. 97. Ошибка sfn: нет цели: CITEREFSmithTruesdell (помощь)
5. Убой. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFSlaughter (помощь)
6. Смит. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFSmith (помощь)
7. Люблинер 2008.
8. Лю. Ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFLiu (помощь)
9. Ву. ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFWu (помощь)
10. Фунг 1977.
11. Mase. Ошибка sfn: нет цели: CITEREFMase (помощь)
12. Атанацкович. sfn error: нет цели: CITEREFAtanackovic (помощь)
13. Иргенс. ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFIrgens (помощь)
14. Чедвик. ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFChadwick (помощь)
15. Фунг 1977, п. 76.
16. Ричардс, п. 55. ошибка sfn: цель отсутствует: CITEREFRichards (помощь)
17. Спенсер 1980, п. 83.

Процитированные работы

• Dienes, J. K .; Солем, Дж. К. (1999). «Нелинейное поведение некоторых гидростатически напряженных изотропных эластомерных пен». Acta Mechanica. 138 (3–4): 155–162. Дои:10.1007 / BF01291841. S2CID  120320672.
• Фунг, Ю. К. (1977). Первый курс механики сплошной среды (2-е изд.). Prentice-Hall, Inc. ISBN  978-0-13-318311-5.
• Люблинер, Якоб (2008). Теория пластичности (PDF) (Пересмотренная ред.). Dover Publications. ISBN  978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинал (PDF) 31 марта 2010 г.
• Остоя-Старжевский, М. (2008). "7-10". Микроструктурная случайность и масштабирование в механике материалов. CRC Press. ISBN  978-1-58488-417-0.
• Спенсер, А.Дж.М. (1980). Механика сплошной среды. Longman Group Limited (Лондон). п. 83. ISBN  978-0-582-44282-5.
• Робертс, А. Дж. (1994). Одномерное введение в механику сплошной среды. World Scientific.

Общие ссылки

• Батра, Р. К. (2006). Элементы механики сплошной среды. Рестон, Вирджиния: AIAA.

• Бертрам, Альбрехт (2012). Упругость и пластичность больших деформаций - введение (Третье изд.). Springer. Дои:10.1007/978-3-642-24615-9. ISBN  978-3-642-24615-9.

• Чандрамули, П.Н. (2014). Механика сплошной среды. Да, Dee Publishing Pvt Ltd. ISBN  9789380381398.

• Эринген, А. Джемаль (1980). Механика Continua (2-е изд.). Krieger Pub Co. ISBN  978-0-88275-663-9.

• Чен, Юпин; Джеймс Д. Ли; Азим Эскандарян (2009). Бессеточные методы в механике твердого тела (Первое изд.). Springer Нью-Йорк. ISBN  978-1-4419-2148-2.

• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошной среды: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN  978-0-8493-9779-0.

• Димитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошной среды и большие неупругие деформации.. Германия: Springer. ISBN  978-94-007-0033-8.

• Хаттер, Колумбан; Клаус Йёнк (2004). Континуальные методы физического моделирования. Германия: Springer. ISBN  978-3-540-20619-4.

• Гуртин, М. Э. (1981). Введение в механику сплошной среды. Нью-Йорк: Academic Press.
• Лай, В. Майкл; Дэвид Рубин; Эрхард Кремпль (1996). Введение в механику сплошной среды (3-е изд.). Elsevier, Inc. ISBN  978-0-7506-2894-5. Архивировано из оригинал 6 февраля 2009 г.

• Любарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. CRC Press. ISBN  978-0-8493-1138-3.

• Малверн, Лоуренс Э. (1969). Введение в механику сплошной среды. Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.

• Мейс, Джордж Э. (1970). Механика сплошной среды. McGraw-Hill Professional. ISBN  978-0-07-040663-6.

• Мейс, Г. Томас; Джордж Э. Мейс (1999). Механика сплошной среды для инженеров (Второе изд.). CRC Press. ISBN  978-0-8493-1855-9.

• Маугин, Г. А. (1999). Термомеханика нелинейного необратимого поведения: введение. Сингапур: World Scientific.
• Немат-Насер, Сиа (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации неоднородных неупругих материалов. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-83979-2.

• Остоя-Старжевский, Мартин (2008). Микроструктурная случайность и масштабирование в механике материалов. Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN  978-1-58488-417-0.

• Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность - Введение в инженерные и производственные приложения. Баттерворт-Хайнеманн. ISBN  978-0-7506-8025-7.

• Райт, Т. У. (2002). Физико-математические аспекты полос адиабатического сдвига.. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Механика сплошной среды в Wikimedia Commons